Chủ đề này có 1 trả lời

[Ngoc Hung]

Tìm tất cả các hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn $2(f(m^{2}+n^{2}))^{3}=f^{2}(m).f(n)+f^{2}(n).f(m)$

[Idie9xx]

Tìm tất cả các hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn $2(f(m^{2}+n^{2}))^{3}=f^{2}(m).f(n)+f^{2}(n).f(m)$

Với $p$ là số nguyên tố lẻ bất kì.

Đặt $f(n)=h(n)p^{g(n)}$ ( $h:N^* \rightarrow N^*$ và $g: N^*\rightarrow N$)

Ta có $2h(m^2+n^2)^3p^{3g(m^2+n^2)}=h(m)h(n)p^{g(m)+g(n)}(h(m)p^{g(m)}+h(n)p^{g(n)})$

Từ đây ta suy ra được $3g(m^2+n^2)=g(m)+g(n)+\min {g(m);g(n)}$

Giả sử $g(m)>g(n)$ thì ta thấy $g(m)>g(m^2+n^2)>g(n)$

Cho dãy $u_n$ thỏa $u_{n+1}=u_n^2+n^2$ và $u_0=m$

Ta dễ dàng chứng minh được $g(m)>g(u_{n+1})>g(u_n)$

Do dãy $u_n$ vô hạn mà $(g(m)-g(n)$ hữu hạn nên ta thấy ngay điều vô lí.

Suy ra $g(m)=g(n),\forall m,n\in N^*$ hay $g$ là hàm hằng.

Suy ra $f(n)=c.2^{t(n)}$ ($t:N^* \rightarrow N$) với $c$ là hằng số.

Cái này mọi người tự thay vào cm $t$ là hàm hằng nhé