Chủ đề này có 42 trả lời

[arsfanfc]

[congdaoduy9a]

Mình xin làm câu pt 

Bài 2: 1)ĐK: $x\leq \frac{3}{2}$

PT$\Leftrightarrow 6x^{2}-12x+8-2x\sqrt{3-2x}=0$

$\Leftrightarrow x^{2}-2x\sqrt{3-2x}+3-2x+5x^{2}-10x+5=0$

$\Leftrightarrow (x-\sqrt{3-2x})^{2}+5(x-1)^{2}=0$

$\Leftrightarrow x=1$ (tm đk)

[arsfanfc]

bài 1: a

ta có : $abc=1 => a= \frac{1}{bc}$

$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c} => b+c-bc=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{bc}$

$=> b^2c+bc^2-b^2c^2-b-c+1=0 => (b-1)(c-1)(bc-1)=0 =>$ đpcm 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 09-04-2015 - 12:06

[Tuan Hoang Nhat]

Câu 1: 2) mờ quá, nhìn không rõ, có phải đề là $2^{3n+1}+2^{3n-1}+1$ không

[Tuan Hoang Nhat]

Nếu đề câu 1 2) là như trên thì A chia hết cho 7 nên A là hợp số

[arsfanfc]

Bài 2: 2

$\left\{\begin{matrix} x^3+2xy^2+12y=0 (1) & \\ x^2+8y^2=12 (2)& \end{matrix}\right.$

$(1) <=> x^3+2xy^2+y(x^2+8y^2)=0$

 $ <=> x^3+2xy^2+yx^2+8y^3=0$

 $ <=> (x+2y)(4y^2-xy+x^2)=0$

  $=> x=-2y$ 

thay vô (2) tìm đc y

[nangcuong8e]

Bài 3: Ta có: $\sum \frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}} \leq \sum \frac{1}{\sqrt{2ab-ab}} =\sum \frac{1}{\sqrt{ab}} \leq \sum \frac{1}{a} =3$

 Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$

[the man]

 

Câu 1

  1.Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $abc=1$ và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

  Chứng minh có ít nhất một số trong $a,b,c$ bằng 1

2.Cho $n$ là số nguyên dương . Chứng minh $A=2^{3n+1}+3^{3n-1}+1$ là hợp số

1.$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=ab+bc+ca\Rightarrow abc-1+a+b+c-ab-bc-ca=0$

$\Leftrightarrow (a-1)(b-1)(c-1)=0\Rightarrow $ ít nhất một trong ba số bằng 1

2.$2A=2^{3n+2}+2^{3n}+2=5.8^n+2$

 Do $8\equiv 1(mod7)\Rightarrow 8^n\equiv 1(mod7)\Rightarrow A\equiv 5+2\equiv 0(mod7)\Rightarrow A\vdots 7$

 Mặt khác ta chứng minh được $A>7$ nên A là hợp số

[Ngoc Hung]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

             HÀ NỘI                                                                         NĂM HỌC 2014 - 2015

     ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                        Môn thi: Toán

                                                                                               Thời gian làm bài: 150 phút

                                                                                                      Ngày thi: 09/04/2015

 

Bài 1:   a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1 và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

            Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong ba số a, b, c bằng 1

            b) Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng $A=2^{3n+1}+2^{3n-1}+1$ là hợp số

Bài 2:   a) Giải phương trình $x\sqrt{3-2x}=3x^{2}-6x+4$

             b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{3}+2xy^{2}+12y=0 & \\ x^{2}+8y^{2}=12 & \end{matrix}\right.$

Bài 3: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$.

           Tìm GTLN của $P=\frac{1}{\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}}}$  

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H

            a) Chứng minh rằng $cos^{2}\widehat{BAC}+cos^{2}\widehat{CBA}+cos^{2}\widehat{ACB}< 1$

            b) P là điểm thuộc cung nhỏ AC của đường tròn (O). Gọi M, I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và HP. Chứng minh rằng MI vuông góc với AP

Bài 5:   a) Tìm các số nguyên tố p sao cho $\frac{p^{2}-p-2}{2}$ là lập phương của một số tự nhiên

             b) Cho 5 số thực không âm a, b, c, d, e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì cạnh nhau có tích không lớn hơn $\frac{1}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 09-04-2015 - 13:15

[the man]

 

Bài 4. Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H

 1. Chứng minh $cos^2\widehat{BAC}+cos^2\widehat{ABC}+cos^2\widehat{BCA}<1$

 2. P là điểm thuộc cung nhỏ AC của đường tròn tâm O. Gọi M,I lần lượt là trung điểm của BC và HP

    Chứng minh MI vuông góc với AP 

Mình chỉ làm được phần 1 thôi 

Ta chứng minh $\Delta AEF\sim \Delta ABC\Rightarrow \frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left ( \frac{AE}{AB} \right )^2=cos^2\widehat{BAC}$

Tương tự hai cái còn lại rồi cộng vào ta được $cos^2\widehat{ABC}+cos^2\widehat{ACB}+cos^2\widehat{BAC}=\frac{S_{AEF}+S_{BFD}+S_{CED}}{S_{ABC}}<1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 09-04-2015 - 13:10

[Ngoc Hung]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

             HÀ NỘI                                                                         NĂM HỌC 2014 - 2015

     ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                        Môn thi: Toán

                                                                                               Thời gian làm bài: 150 phút

                                                                                                      Ngày thi: 09/04/2015

 

Bài 2:   a) Giải phương trình $x\sqrt{3-2x}=3x^{2}-6x+4$

             b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{3}+2xy^{2}+12y=0 & \\ x^{2}+8y^{2}=12 & \end{matrix}\right.$

 

b) Thay phương trình thứ (2) vào (1) được $x^{3}+2xy^{2}+y(x^{2}+8y^{2})=0\Leftrightarrow (x+2y)(x^{2}-xy+4y^{2})=0$

Từ đó ta có x = 2y ...

[the man]

Bài 5.

 2.Cho 5 số thực không âm a,b,c,d,e có tổng bằng 1 . Xếp 5 số này trên một đường tròn. Chứng minh luôn tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì cạnh nhau có tích không lớn hơn $\frac{1}{9}$

[dogsteven]

Mình chỉ làm được phần 1 thôi 

Ta chứng minh $\Delta AEF\sim \Delta ABC\Rightarrow \frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left ( \frac{AE}{AB} \right )^2=cos^2\widehat{BAC}$

Tương tự hai cái còn lại rồi cộng vào ta được $cos^2\widehat{ABC}+cos^2\widehat{ACB}+cos^2\widehat{BAC}=\frac{S_{AEF}+S_{BFD}+S_{CED}}{S_{ABC}}<1$

Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $(O)$. Khi đó $HBA'C$ là hình bình hành nên ta có $M$ là trung điểm $HA'$

Do đó $MI||PA'\perp AP$

[hoctrocuaZel]

$5/a/$

$p(p-1)=2(a+1)(a^2-a+1)$.

Mà $a^2-a+1$ kg viết được thành nhân tử nên:

$p-1=2(a+1);p-1=2(a^2-a+1)$.

[Dinh Xuan Hung]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

             HÀ NỘI                                                                         NĂM HỌC 2014 - 2015

     ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                        Môn thi: Toán

                                                                                               Thời gian làm bài: 150 phút

                                                                                                      Ngày thi: 09/04/2015

 

 

Bài 3: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$.

           Tìm GTLN của $P=\frac{1}{\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}}}$  

 

Ta có:$\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\frac{(a+b)^2}{4}+\frac{3(a-b)^2}{4}}\geq \frac{a+b}{2}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\leq \frac{2}{a+b}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )$

CMTT:$\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

$\frac{1}{\sqrt{c^2-ac+a^2}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right )$

$\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}\left [ 2\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \right ]=3$

[Dinh Xuan Hung]

b) Thay phương trình thứ (2) vào (1) được $x^{3}+2xy^{2}+y(x^{2}+8y^{2})=0\Leftrightarrow (x+2y)(x^{2}-xy+4y^{2})=0$

Từ đó ta có x = 2y ...

Bạn ghi nhàm rồi x=-2y

[the man]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

             HÀ NỘI                                                                         NĂM HỌC 2014 - 2015

     ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                        Môn thi: Toán

                                                                                               Thời gian làm bài: 150 phút

                                                                                                      Ngày thi: 09/04/2015

 

 

Bài 2:   a) Giải phương trình $x\sqrt{3-2x}=3x^{2}-6x+4$

          

Mình xin đóng góp cách giải nữa cho bài này

Nhận thấy $VP> 0\Rightarrow x> 0$

$VP=3(x-1)^2+1\geq 1,VT=\sqrt{x.x.(3-2x)}\leq \frac{x+x+3-2x}{3}=1\Rightarrow VT\leq VP$

Dấu đẳng thức xảy ra nên $x=1$

[marcoreus101]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

             HÀ NỘI                                                                         NĂM HỌC 2014 - 2015

     ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                        Môn thi: Toán

                                                                                               Thời gian làm bài: 150 phút

                                                                                                      Ngày thi: 09/04/2015

 

Bài 1:   a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1 và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

            Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong ba số a, b, c bằng 1

Em làm cách khác: Luôn tồn tại ba số $x,y,z$ sao cho $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$

Lúc đó giả thiết trở thành $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-\frac{y}{x}-\frac{z}{y}-\frac{x}{z}=0$

Phân tích nhân tử trở thành $(\frac{y}{x}-1)(1-\frac{y}{z})(\frac{z}{y}-\frac{x}{y})$

Suy ra đpcm

[the man]

Thế này chỉ có thể suy ra y=x=z thôi chứ sao suy ra bằng 1 được

Buồn cười thật

x=y=z thì đương nhiên là a=b=c=1 rồi mà bạn

[Long NL]

Ai làm được bài 5 chỉ mình với