ĐỀ THI HSG HÀ NỘI NĂM 2014-2015
#1
Đã gửi 09-04-2015 - 11:40
#3
Đã gửi 09-04-2015 - 12:05
bài 1: a
ta có : $abc=1 => a= \frac{1}{bc}$
$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c} => b+c-bc=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{bc}$
$=> b^2c+bc^2-b^2c^2-b-c+1=0 => (b-1)(c-1)(bc-1)=0 =>$ đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 09-04-2015 - 12:06
- Ngoc Hung, luluhary và Doreamun2k thích
~YÊU ~
#4
Đã gửi 09-04-2015 - 12:11
Câu 1: 2) mờ quá, nhìn không rõ, có phải đề là $2^{3n+1}+2^{3n-1}+1$ không
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#5
Đã gửi 09-04-2015 - 12:14
Nếu đề câu 1 2) là như trên thì A chia hết cho 7 nên A là hợp số
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#6
Đã gửi 09-04-2015 - 12:39
Bài 2: 2
$\left\{\begin{matrix} x^3+2xy^2+12y=0 (1) & \\ x^2+8y^2=12 (2)& \end{matrix}\right.$
$(1) <=> x^3+2xy^2+y(x^2+8y^2)=0$
$ <=> x^3+2xy^2+yx^2+8y^3=0$
$ <=> (x+2y)(4y^2-xy+x^2)=0$
$=> x=-2y$
thay vô (2) tìm đc y
- Ngoc Hung và Doreamun2k thích
~YÊU ~
#7
Đã gửi 09-04-2015 - 12:46
Bài 3: Ta có: $\sum \frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}} \leq \sum \frac{1}{\sqrt{2ab-ab}} =\sum \frac{1}{\sqrt{ab}} \leq \sum \frac{1}{a} =3$
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$
- Ngoc Hung và thinhrost1 thích
#8
Đã gửi 09-04-2015 - 12:56
Câu 1
1.Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $abc=1$ và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Chứng minh có ít nhất một số trong $a,b,c$ bằng 1
2.Cho $n$ là số nguyên dương . Chứng minh $A=2^{3n+1}+3^{3n-1}+1$ là hợp số
1.$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=ab+bc+ca\Rightarrow abc-1+a+b+c-ab-bc-ca=0$
$\Leftrightarrow (a-1)(b-1)(c-1)=0\Rightarrow $ ít nhất một trong ba số bằng 1
2.$2A=2^{3n+2}+2^{3n}+2=5.8^n+2$
Do $8\equiv 1(mod7)\Rightarrow 8^n\equiv 1(mod7)\Rightarrow A\equiv 5+2\equiv 0(mod7)\Rightarrow A\vdots 7$
Mặt khác ta chứng minh được $A>7$ nên A là hợp số
- Ngoc Hung, arsfanfc, kimchitwinkle và 2 người khác yêu thích
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
#9
Đã gửi 09-04-2015 - 13:07
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
HÀ NỘI NĂM HỌC 2014 - 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 09/04/2015
Bài 1: a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1 và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong ba số a, b, c bằng 1
b) Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng $A=2^{3n+1}+2^{3n-1}+1$ là hợp số
Bài 2: a) Giải phương trình $x\sqrt{3-2x}=3x^{2}-6x+4$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{3}+2xy^{2}+12y=0 & \\ x^{2}+8y^{2}=12 & \end{matrix}\right.$
Bài 3: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$.
Tìm GTLN của $P=\frac{1}{\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}}}$
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H
a) Chứng minh rằng $cos^{2}\widehat{BAC}+cos^{2}\widehat{CBA}+cos^{2}\widehat{ACB}< 1$
b) P là điểm thuộc cung nhỏ AC của đường tròn (O). Gọi M, I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và HP. Chứng minh rằng MI vuông góc với AP
Bài 5: a) Tìm các số nguyên tố p sao cho $\frac{p^{2}-p-2}{2}$ là lập phương của một số tự nhiên
b) Cho 5 số thực không âm a, b, c, d, e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn. Chứng minh rằng luôn tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì cạnh nhau có tích không lớn hơn $\frac{1}{9}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 09-04-2015 - 13:15
- hoctrocuaZel, marcoreus101, arsfanfc và 5 người khác yêu thích
#10
Đã gửi 09-04-2015 - 13:09
Bài 4. Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H
1. Chứng minh $cos^2\widehat{BAC}+cos^2\widehat{ABC}+cos^2\widehat{BCA}<1$
2. P là điểm thuộc cung nhỏ AC của đường tròn tâm O. Gọi M,I lần lượt là trung điểm của BC và HP
Chứng minh MI vuông góc với AP
Mình chỉ làm được phần 1 thôi
Ta chứng minh $\Delta AEF\sim \Delta ABC\Rightarrow \frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left ( \frac{AE}{AB} \right )^2=cos^2\widehat{BAC}$
Tương tự hai cái còn lại rồi cộng vào ta được $cos^2\widehat{ABC}+cos^2\widehat{ACB}+cos^2\widehat{BAC}=\frac{S_{AEF}+S_{BFD}+S_{CED}}{S_{ABC}}<1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 09-04-2015 - 13:10
- Ngoc Hung, chieckhantiennu, hoctrocuaZel và 2 người khác yêu thích
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
#11
Đã gửi 09-04-2015 - 13:11
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
HÀ NỘI NĂM HỌC 2014 - 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 09/04/2015
Bài 2: a) Giải phương trình $x\sqrt{3-2x}=3x^{2}-6x+4$
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{3}+2xy^{2}+12y=0 & \\ x^{2}+8y^{2}=12 & \end{matrix}\right.$
b) Thay phương trình thứ (2) vào (1) được $x^{3}+2xy^{2}+y(x^{2}+8y^{2})=0\Leftrightarrow (x+2y)(x^{2}-xy+4y^{2})=0$
Từ đó ta có x = 2y ...
- hoctrocuaZel, congdan9aqxk và congdaoduy9a thích
#12
Đã gửi 09-04-2015 - 13:13
Bài 5.
2.Cho 5 số thực không âm a,b,c,d,e có tổng bằng 1 . Xếp 5 số này trên một đường tròn. Chứng minh luôn tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì cạnh nhau có tích không lớn hơn $\frac{1}{9}$
- Ngoc Hung yêu thích
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
#13
Đã gửi 09-04-2015 - 13:17
Mình chỉ làm được phần 1 thôi
Ta chứng minh $\Delta AEF\sim \Delta ABC\Rightarrow \frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left ( \frac{AE}{AB} \right )^2=cos^2\widehat{BAC}$
Tương tự hai cái còn lại rồi cộng vào ta được $cos^2\widehat{ABC}+cos^2\widehat{ACB}+cos^2\widehat{BAC}=\frac{S_{AEF}+S_{BFD}+S_{CED}}{S_{ABC}}<1$
Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $(O)$. Khi đó $HBA'C$ là hình bình hành nên ta có $M$ là trung điểm $HA'$
Do đó $MI||PA'\perp AP$
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#14
Đã gửi 09-04-2015 - 14:42
$5/a/$
$p(p-1)=2(a+1)(a^2-a+1)$.
Mà $a^2-a+1$ kg viết được thành nhân tử nên:
$p-1=2(a+1);p-1=2(a^2-a+1)$.
- Ngoc Hung, luluhary và congdaoduy9a thích
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
#15
Đã gửi 09-04-2015 - 16:18
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
HÀ NỘI NĂM HỌC 2014 - 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 09/04/2015
Bài 3: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$.
Tìm GTLN của $P=\frac{1}{\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{c^{2}-ca+a^{2}}}$
Ta có:$\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\frac{(a+b)^2}{4}+\frac{3(a-b)^2}{4}}\geq \frac{a+b}{2}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\leq \frac{2}{a+b}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )$
CMTT:$\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$
$\frac{1}{\sqrt{c^2-ac+a^2}}\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right )$
$\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}\left [ 2\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \right ]=3$
- Ngoc Hung, luluhary và congdaoduy9a thích
#16
Đã gửi 09-04-2015 - 16:21
b) Thay phương trình thứ (2) vào (1) được $x^{3}+2xy^{2}+y(x^{2}+8y^{2})=0\Leftrightarrow (x+2y)(x^{2}-xy+4y^{2})=0$
Từ đó ta có x = 2y ...
Bạn ghi nhàm rồi x=-2y
#17
Đã gửi 09-04-2015 - 17:10
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
HÀ NỘI NĂM HỌC 2014 - 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 09/04/2015
Bài 2: a) Giải phương trình $x\sqrt{3-2x}=3x^{2}-6x+4$
Mình xin đóng góp cách giải nữa cho bài này
Nhận thấy $VP> 0\Rightarrow x> 0$
$VP=3(x-1)^2+1\geq 1,VT=\sqrt{x.x.(3-2x)}\leq \frac{x+x+3-2x}{3}=1\Rightarrow VT\leq VP$
Dấu đẳng thức xảy ra nên $x=1$
- anhtukhon1, thinhrost1, ducbau007 và 2 người khác yêu thích
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
#18
Đã gửi 09-04-2015 - 18:27
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
HÀ NỘI NĂM HỌC 2014 - 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 09/04/2015
Bài 1: a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1 và $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong ba số a, b, c bằng 1
Em làm cách khác: Luôn tồn tại ba số $x,y,z$ sao cho $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$
Lúc đó giả thiết trở thành $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}-\frac{y}{x}-\frac{z}{y}-\frac{x}{z}=0$
Phân tích nhân tử trở thành $(\frac{y}{x}-1)(1-\frac{y}{z})(\frac{z}{y}-\frac{x}{y})$
Suy ra đpcm
- Ngoc Hung, thinhrost1, rainbow99 và 1 người khác yêu thích
#19
Đã gửi 09-04-2015 - 18:51
Thế này chỉ có thể suy ra y=x=z thôi chứ sao suy ra bằng 1 được
Buồn cười thật
x=y=z thì đương nhiên là a=b=c=1 rồi mà bạn
- anhtukhon1 và Ngoc Hung thích
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
#20
Đã gửi 09-04-2015 - 20:05
Ai làm được bài 5 chỉ mình với
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh