Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

APMO 2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 09-04-2015 - 22:48

Câu 1.
Cho tam giác $ABC$ có $D$ là một điểm thuộc cạnh $BC$. Một đường thẳng đi qua $D$ cắt cạnh $AB$ tại $X$ và tia $AC$ tại $Y$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BXD$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\omega$ của tam giác $ABC$ tại $Z$ (khác $B$). Đường thẳng $ZD$ và $ZY$ cắt $\omega$ lần lượt tại $V$ và $W$. Chứng minh rằng $AB=VW$
 
Câu 2.
Đặt $S = \{2,3,4,...\}$ là tập hợp các số nguyên không nhỏ hơn $2$. Có tồn tại hay không một hàm số $f: S \to S$ sao cho:  $f (a)f (b) = f (a^2 b^2 ), \forall a, b \in S, a \neq b$.
 
Câu 3.
Dãy số thực $a_0,a_1,... $ được gọi là "tốt" nếu $3$ thỏa mãn đồng thời 3 điều kiện sau:
$(i)$ $a_0$ là một số nguyên dương.
$(ii)$ Với mỗi số nguyên không âm $i$, ta có: $a_{i+1}=2a_i+1$ hoặc $a_{i+1} =\frac{a_i}{a_i + 2} $
$(iii)$ Tồn tại một số nguyên dương $k$ sao cho $a_k=2014$.
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho tồn tại một dãy số tốt $a_0,a_1, ...$ thỏa mãn $a_n=2014$.
 
Câu 4
Cho $n$ là một số nguyên dương. Xét $2n$ đường thẳng phân biệt trên mặt phẳng trong đó không có hai đường nào song song. Người ta tô $n$ đường thẳng màu xanh và $n$ đường còn lại màu đỏ. Gọi $\mathcal{B}$ là tập hợp tất cả các điểm nằm trên ít nhất một đường thẳng màu xanh, còn $\mathcal{R}$ là tập hợp tất cả các điểm nằm trên ít nhất một đường thẳng màu đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn có chung với $\mathcal{B}$ đúng $2n-1$ điểm và có chung với $\mathcal{R}$ đúng $2n-1$ điểm.
 
Câu 5.
Xác định tất cả các dãy số nguyên dương $a_0,a_1,a_2,...$ có $a_0 \ge 2015$ và thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau với mọi số nguyên $n\ge 1$
(i) $a_{n+2}$ chia hết cho $a_n$ ;
(ii) $|s_{n+1} - (n + 1)a_n | = 1$, với $s_{n+1} = a_{n+1} - a_n + a_{n-1} - \cdots + (-1)^{n+1} a_0$ .

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 10-04-2015 - 13:11

Câu 1.

Cho tam giác $ABC$ có $D$ là một điểm thuộc cạnh $BC$. Một đường thẳng đi qua $D$ cắt cạnh $AB$ tại $X$ và tia $AC$ tại $Y$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BXD$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\omega$ của tam giác $ABC$ tại $Z$ (khác $B$). Đường thẳng $ZD$ và $ZY$ cắt $\omega$ lần lượt tại $V$ và $W$. Chứng minh rằng $AB=VW$

Chắc làm được mỗi bài dễ nhất này @@~

 

Lời giải :

APMO 2015.JPG

Dễ dàng nhận thấy điểm $Z$ chính là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $ABCXDY$.

Cho nên tứ giác $CDZY$ nội tiếp. Suy ra :

$$\angle ZYD=\angle ZCD$$

Mà lại có $\angle ZCD=\angle ZCB=\angle ZWB$ do tứ giác $ZWCB$ nội tiếp. Như vậy thì $\angle ZWB=\angle ZYD$.

Điều này cho ta $WB,YD$ song song nhau.

Tương tự thì $AV,YD$ cũng song song nhau. Kéo theo $AV,WB$ song song. Dễ suy ra đuợc $AB=VW$.


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 16-04-2015 - 23:09

Câu 2.

Đặt $S = \{2,3,4,...\}$ là tập hợp các số nguyên không nhỏ hơn $2$. Có tồn tại hay không một hàm số $f: S \to S$ sao cho:  $f (a)f (b) = f (a^2 b^2 ), \forall a, b \in S, a \neq b$.

Lời giải của mình :)

 

Lời giải :

 

Với mọi $a,b,c \in S$ và thoả $(*) : (a-b)(b-c)(a^2b^2-c)(b^2c^2-a) \neq 0$ ta có :

$$f(a)f(b)f\left ( c \right )=f(a^2b^2)f\left ( c \right )=f(a^4b^4c^2)$$

$$f(a)f(b)f\left ( c \right )=f(b^2c^2)f(a)=f(a^2b^4c^4)$$

Suy ra với mọi $a,b,c \in S$ và thoả $(*)$ thì :

$$f(a^4b^4c^2)=f(a^4b^2c^4)$$

Mặt khác với mọi $a,b,c\in S$ thoả $(**):(a^2-b^2c)(ca-b^2c)\neq 0$ ta có :

$$f(a^4b^4c^2)=f\left ( (b^2c)^2.(a^2)^2 \right )=f(a^2)f(b^2c)$$

$$f(a^2b^4c^4)=f\left ( (ca)^2.(b^2c)^2 \right )=f(ca).f(b^2c)$$

Từ hai điều trên ta suy ra với mọi $a,c\in S$ và thoả $(*),(**)$ :

$$f(ca)=f(a^2)$$

Rõ ràng với mọi $a,c\in S$ thì ta luôn chọn được số $b\in S$ sao cho cả hai điều kiện $(*),(**)$ đều được thoả mãn. Như vậy :

$$f(ca)=f(a^2),\;\forall a,c\in S$$

Tức là :

$$f(a^2)=f(2a)=f(3a)=....=f(na),\;\forall a\in S,n\in \mathbb{N},n\geq 3\;\;\;(1)$$

Mặt khác theo giả thiết :

$$f(2k)f(b)=f(4k^2.b^2),\;\forall k,b\in S\;\;\;(2)$$

Chú ý ta sử dụng kết quả $(1)$ với $a=b,n=4k^2b$ thì :

$$f(4k^2b^2)=f(4k^2b.b)=f(b^2),\;\forall k,b\in S\;\;\;(3)$$

Sử dụng $(1)$ với $a=b$ thì với mọi $b\in S$ :

$$f(2b)=f(b^2)\;\;(4)$$

Từ $(2)(3)(4)$ :

$$f(b)=1,\;\forall b\in S$$

Mâu thuẫn. Vậy không tồn tại hàm số thoả đề.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 16-04-2015 - 23:21

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#4 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 321 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-04-2015 - 06:42

Một lời giải khác cho câu 2:

Với $b>a>2$ thì ta có $f(a^2)f(4b^2)=f(16a^4b^4)=f(4a^2b)f(b)$

Mặt khác ta có $f(4b^2)=f(2)f(b)$ Do đó ta có thể suy ra $f(2)f(a^2)=f(4a^2b)$, ở đây ta cho $b=a^4$ thì suy ra $f(2)f(a^2)=f(4a^2.a^4)=f(2a)f(a^2) \Rightarrow f(2)=f(2a)$ vậy là $f(2)=f(2a)$ với mọi $a>2$. Đến đây chỉ cần thay $a=4$ chẳng hạn thì $f(2).f(4)=f(2^2.4^2) \Rightarrow f(2).f(2)=f(2)$ dẫn đến $f(2)$ chỉ nhận 3 giá trị $0,1,-1$, cả 3 số này đều không thuộc $S$ nên mâu thuẫn.

P/s: Thực ra lời giải của mình và lời giải của bạn Juliel không khác nhau là mấy (có thể xem bản chất là như nhau) chỉ là đôi lúc chúng ta tư duy toán nó trừu tượng và tổng quát quá, nhiều lúc cứ cụ thể một chút thì xử lí sẽ gọn hơn. Đây là điều một người thầy đã dạy mình trong những ngày cuối cùng học toán :D



#5 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 321 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-04-2015 - 16:27

Bài 5:

Đầu tiên ta có nhận xét nếu với $(a,b,c,d,x,y)$ là các số nguyên dương thỏa mãn $|ax-by|=1,|cx-dy|=1$ thì hoặc $a \equiv c$ (mod $y$) và hoặc $a \equiv -c$ (mod $y$).

Theo điều kiện 1 ta đặt $a_{n+2}=l_n.a_n$

Trong 2 cho $n=1,2,3$ thì được $ |a_2+a_0-3a_1| = 1, |a_3+a_1-4a_2-a_0| = 1, |a_4+a_2+a_0-5a_3-a_1| = 1$

Ta viết lại thế này: $ |(l_0+1)a_0-3a_1| = 1, |(l_1+1)a_1-(4l_0+1)a_0| = 1, |(l_2l_0+l_0+1)a_0-(5l_1+1)a_1| = 1$

Bây giờ dùng nhận xét ta lập luận quan hệ đồng dư giữa 3 số $5l_1+1,l_1+1,3$ cho $a_0 \ge 2015$

Hình như ở đây ra mâu thuẫn! (Chỉ nêu ý tưởng như vậy không chắc chắn lắm)



#6 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 321 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-04-2015 - 17:11

Bài 3 có thể theo hướng này theo giả thiết thì ta có $\frac{1}{a_{n+1}+1}= \frac{1}{2(a_n+1)}$ hoặc $\frac{1}{a_{n+1}+1}= \frac{1}{2(a_n+1)}+1$. Từ đây suy ra $\frac{1}{a_n+1}=\frac{2}{a_{n+1}+1}$ hoặc $\frac{1}{a_n+1}=\frac{2}{a_{n+1}+1}-1$.

Bây giờ ta sẽ từ $\frac{1}{a_n+1}= \frac{1}{2015}$ đi ngược về $\frac{1}{a_0+1}$. Gọi 2 phép biến đổi trên thứ tự là bước 1 và bước 2. Từ $\frac{1}{2015}$ khi thực hiện liên tục các phép biến đổi ngược về như trên thì khi về đến $\frac{1}{a_0+1}$ ta sẽ ra một dạng ở tử là $2^n-2015.2^{a_i}-2015^{a_{i-1}}-...-2015=1$. Tại sao kết quả ở đây là 1 thì là vì ta cần đạt một cấu hình $\frac{1}{k}$ mà mẫu lúc nào cũng là 2015 và dạng của tử thì lại nguyên tố cùng nhau với 2015 nên buộc sẽ phải là 1. Ta sẽ thấy là $a_0$ bắt đầu cũng bằng 2014 luôn. Vậy tìm $n$ là $ord(2)$ mod $2015$ chính là đáp án. Nếu ta biểu diễn thương số $\frac{2^n-1}{2015}$ dưới dạng nhị phân thì số này có những vị trí $a_i,a_{i-1},..$ là số 1 còn lại là số 0. Tức là khi ta làm ngược lại $n$ lần thì ta dùng bước 1 ở những vị trí bằng 0 và dùng bước 2 ở những vị trí bằng 1.

Đây chỉ là một hướng làm của mình vì còn 1 số vấn đề k dám chắc sẽ giải quyết được như là tìm $ord(2)$ mod 2015 hay là phải chứng minh cấu hình thực hiện các phép biến đổi trên đảm bảo $a_i$ không âm với mọi $i$.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh