Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

China National Olympiad 2015


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 10-04-2015 - 15:00

mo.png
Ngày 1
Câu 1.  Cho $z_1,z_2,...,z_n$ là các số phức thỏa mãn $|z_i - 1| \leq r$ với một số số $r \in (0,1)$. Sao cho:
\[ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).\]
 
Câu 2. Cho $ A, B, D, E, F, C $ theo thứ tự là sáu điểm nằm trên một đường tròn sao cho $ AB=AC $.
Giả sử $ P=AD \cap BE, R=AF \cap CE, Q=BF \cap CD, S=AD \cap BF, T=AF \cap CD $ .
Gọi $ K $ là điểm nằm trên $ ST $ sao cho $ \angle QKS=\angle ECA $ .
Chứng minh rằng $ \frac{SK}{KT}=\frac{PQ}{QR} $
 
Câu 3
Cho $n \geq 5$ là một số nguyên dương, đặt $A$ và $B$ là tập hợp các số nguyên dương thoản mãn đồng thời các tính chất:
i) $|A| = n$, $|B| = m$ và $A$ là tập con của $B$
ii) Với bất kì  hai số phân biệt $x,y \in B$, $x+y \in B$ iff $x,y \in A$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $m$.
 
Ngày 2
Câu 4. Xác định tất cả các số nguyên $k$ sao cho tồn tại vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn
\[n+k \not | \binom{2n}{n}\]
 
Câu 5. Có $30$ sinh viên. Trong đó mỗi sinh viên có nhiều nhất $5$ người bạn và với mỗi nhóm $5$ sinh viên luôn có một cặp sinh viên không phải là đôi bạn. Xác định giá trị lớn nhất có thể có của $k$ sao cho tồn tại $k$ sinh viên mà không có đôi bạn nào.
 
Câu 6. Cho $a_1,a_2,...$ là dãy các số nguyên không âm sao cho với bất kì $m,n$
ta có
\[ \sum_{i=1}^{2m} a_{in}  \leq m\]
Chứng minh rằng tồn tại $k,d$ sao cho
\[ \sum_{i=1}^{2k} a_{id} = k-2014\]
 
Theo AoPS

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh