Đến nội dung

Hình ảnh

China National Olympiad 2015


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
mo.png
Ngày 1
Câu 1.  Cho $z_1,z_2,...,z_n$ là các số phức thỏa mãn $|z_i - 1| \leq r$ với một số số $r \in (0,1)$. Sao cho:
\[ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).\]
 
Câu 2. Cho $ A, B, D, E, F, C $ theo thứ tự là sáu điểm nằm trên một đường tròn sao cho $ AB=AC $.
Giả sử $ P=AD \cap BE, R=AF \cap CE, Q=BF \cap CD, S=AD \cap BF, T=AF \cap CD $ .
Gọi $ K $ là điểm nằm trên $ ST $ sao cho $ \angle QKS=\angle ECA $ .
Chứng minh rằng $ \frac{SK}{KT}=\frac{PQ}{QR} $
 
Câu 3
Cho $n \geq 5$ là một số nguyên dương, đặt $A$ và $B$ là tập hợp các số nguyên dương thoản mãn đồng thời các tính chất:
i) $|A| = n$, $|B| = m$ và $A$ là tập con của $B$
ii) Với bất kì  hai số phân biệt $x,y \in B$, $x+y \in B$ iff $x,y \in A$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $m$.
 
Ngày 2
Câu 4. Xác định tất cả các số nguyên $k$ sao cho tồn tại vô số số nguyên dương $n$ thỏa mãn
\[n+k \not | \binom{2n}{n}\]
 
Câu 5. Có $30$ sinh viên. Trong đó mỗi sinh viên có nhiều nhất $5$ người bạn và với mỗi nhóm $5$ sinh viên luôn có một cặp sinh viên không phải là đôi bạn. Xác định giá trị lớn nhất có thể có của $k$ sao cho tồn tại $k$ sinh viên mà không có đôi bạn nào.
 
Câu 6. Cho $a_1,a_2,...$ là dãy các số nguyên không âm sao cho với bất kì $m,n$
ta có
\[ \sum_{i=1}^{2m} a_{in}  \leq m\]
Chứng minh rằng tồn tại $k,d$ sao cho
\[ \sum_{i=1}^{2k} a_{id} = k-2014\]
 
Theo AoPS

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh