Chủ đề này có 2 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN của $P=\frac{x}{1+y-x}+\frac{y}{1+z-y}+\frac{z}{1+x-z}$

[Issac Newton of Ngoc Tao]

Ta có: P=$\frac{x^{2}}{x+xy-x^{2}}$+$\frac{y^{2}}{y+yz-y^{2}}$+$\frac{z^{2}}{z+zx-z^{2}}$

                  $\geq \frac{\left ( x+y+z \right )^{2}}{x+y+xy+xz+yz-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$ 

   

 Mà Ta lại có: xy+xz+yz$\leq \frac{\left ( x+y+z \right )^{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$

                      x²+y²+z²$\geq \frac{\left ( x+y+z \right )^{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$          

Từ đó suy ra:P$\geq$1

Dấu = xảy ra khi x=y=x=$\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Issac Newton of Ngoc Tao: 11-04-2015 - 07:23

[lethutang7dltt]

Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm GTNN của $P=\frac{x}{1+y-x}+\frac{y}{1+z-y}+\frac{z}{1+x-z}$

$P=\sum \frac{x}{1+y-x}=\frac{x}{2y+z}+\frac{y}{2z+x}+\frac{z}{2x+y}$         $( do x+y+z=1)$

$\Rightarrow P=\frac{x^2}{2xy+xz}+\frac{y^2}{2yz+yx}+\frac{z^2}{2zx+zy}\geq \frac{(x+y+z)^2}{3(xy+yz+xz)}\geq 1$

$Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=\frac{1}{3}$