Chủ đề này có 3 trả lời

[longatk08]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm sao cho không có 2 số nào trong số chúng đồng thời bằng không.Chứng minh rằng:

$\frac{a^3}{2a^2+bc}+\frac{b^3}{2b^2+ac}+\frac{c^3}{2c^2+ab}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$

[nguyenhiep1999]

bài này xét hiệu đặt a^3,b^3,c^3 ra ngoài.trong sau khi phân tích nhân có chứa a² +bc-b²-c²,b^2+ca-a^2-b^2,c^2+ab-a^2-b^2.

đặt ta có:

$\sum$ A.(a² +bc-b²-c²) =A.(a^2+bc-b^2-c^2-b^2-ac+b^2+c^2)+(A+B).(b^2+ac-a^2-c^2-c^2-ab+a^2+b^2)+(A+B+C).(c^2+ab-a^2-b^2)

đánh giá a,b,c là xong.

[dogsteven]

Bất đẳng thức tương đương với $abc\sum \dfrac{1}{2a^2+bc}\geqslant \dfrac{\sum ab(a+b)-\sum a^3}{a^2+b^2+c^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Schur: $VP\leqslant \dfrac{3abc}{a^2+b^2+c^2}$

Do đó ta cần chứng minh $\sum \dfrac{1}{2a^2+bc}\geqslant \dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}$ luôn đúng theo Cauchy-Schwarz và bất đẳng thức "Schur bậc 2" $a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$

[tunglamlqddb]

bài này xét hiệu đặt a^3,b^3,c^3 ra ngoài.trong sau khi phân tích nhân có chứa a² +bc-b²-c²,b^2+ca-a^2-b^2,c^2+ab-a^2-b^2.
đặt ta có:
$\sum$ A.(a² +bc-b²-c²) =A.(a^2+bc-b^2-c^2-b^2-ac+b^2+c^2)+(A+B).(b^2+ac-a^2-c^2-c^2-ab+a^2+b^2)+(A+B+C).(c^2+ab-a^2-b^2)
đánh giá a,b,c là xong.

Nhưng mình thấy vẫn chưa xong bạn ạ, bạn giải rõ hơn đi