Chủ đề này có 1 trả lời

[issacband365]

Với a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CMR $\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{c}{c^{2}+2a+3}\leq \frac{1}{2}$

[hoanglong2k]

Với a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CMR $\frac{a}{a^{2}+2b+3}+\frac{b}{b^{2}+2c+3}+\frac{c}{c^{2}+2a+3}\leq \frac{1}{2}$

Ta có: $\sum \frac{a}{a^2+1+2b+2}\leq \sum \frac{a}{2a+2a+2}$

Nên ta sẽ chứng minh $\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có

  $LHS=\sum \frac{(b+1)^2}{(a+b+1)(b+1)}$

  $\geq \frac{(a+b+c+3)^2}{\sum (a+b+1)(b+1)}$

  $=\frac{(a+b+c+3)^2}{3\sum a+\sum ab+\sum a^2+3}$

  $=\frac{(a+b+c+3)^2}{3\sum a+\sum ab+\frac{1}{2}\sum a^2+\frac{9}{2}}$

  $=\frac{(a+b+c+3)^2}{\frac{1}{2}(a+b+c+3)^2}=2$

Nên có điều cần chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$