Chủ đề này có 1 trả lời

[PSW]

Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có một bội mà chỉ bao gồm các chữ số 0 và 7. Ví dụ: 2 có bội là 70, 3 có bội là 777.

[chanhquocnghiem]

Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có một bội mà chỉ bao gồm các chữ số 0 và 7. Ví dụ: 2 có bội là 70, 3 có bội là 777.

Với mọi $n\in \mathbb{N}^*$, ta xét các số có dạng $N_{k}=\overline{\underbrace{77777...7}_{k\ cs\ 7}\underbrace{00000...0}_{n-k\ cs\ 0}}$ ,$1\leqslant k\leqslant n$ (tất cả có $n$ số như vậy, mỗi số có $n$ chữ số)

Gọi $r_{k}$ là số dư khi chia $N_{k}$ cho $n$ ($r_{k}\in \left \{ 0;1;2;...;n-1 \right \}$).Có 2 trường hợp :

$a)$ Nếu các số $r_{k}$ khác nhau từng đôi một thì theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại số $r_{i}=0$ $\Rightarrow N_{i}\vdots n$ hay

$N_{i}=\overline{\underbrace{77777...7}_{i\ cs\ 7}\underbrace{00000...0}_{n-i\ cs\ 0}}$ là bội của $n$.

$b)$ Nếu có ít nhất 2 số bằng nhau ($r_{i}=r_{j}$ với $i>j$) $\Rightarrow N_{i}$ và $N_{j}$ có cùng số dư khi chia cho $n$

$\Rightarrow P=N_{i}-N_{j}$ chia hết cho $n$ hay

$P=\overline{\underbrace{77777...7}_{i-j\ cs\ 7}\underbrace{00000...0}_{n-i\ cs\ 0}}$ là bội của $n$.

 

Như vậy với mọi số nguyên dương $n$, ta luôn tìm được ít nhất một bội chỉ bao gồm các chữ số $0$ và $7$.