Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

$ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-04-2015 - 23:37

Cho $z_1,z_2,...,z_n$ là số phức thỏa $|z_i-1|\le r$ với mọi $r\in (0;1)$, Chứng minh:

$$ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).$$


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1923 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 22-10-2019 - 16:57

Cho $z_1,z_2,...,z_n$ là số phức thỏa $|z_i-1|\le r$ với mọi $r\in (0;1)$, Chứng minh:

$$ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).$$

Trước hết, ta nhận xét rằng $|z_i-1|\leqslant r$ với mọi $r\in (0;1)$ $\Leftrightarrow z_i=1$.

Như vậy chỉ có $1$ trường hợp xảy ra là $z_1=z_2=z_3=...=z_n=1$.

Khi đó ta có $\left | \sum_{i=1}^n z_i \right | .\left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | =n^2> n^2(1-r^2)$

(Vì $r\in (0;1)$ nên dấu bằng không thể xảy ra)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 22-10-2019 - 17:30

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4127 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 23-10-2019 - 17:58

Mình nghi bài toán ở đây phát biểu không chính xác. Nếu thế này thì quá dễ. Có lẽ phải nói thế này:

 

Cho $z_1,z_2,...,z_n$ là số phức và số thực $r\in (0;1)$ thỏa $|z_i-1|\le r \, \forall i=\overline{1,n}$, Chứng minh:

$$ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).$$


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1923 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 23-10-2019 - 20:32

Mình nghi bài toán ở đây phát biểu không chính xác. Nếu thế này thì quá dễ. Có lẽ phải nói thế này:

 

Cho $z_1,z_2,...,z_n$ là số phức thỏa $|z_i-1|\le r$ $\forall i=\overline{1,n}$, Chứng minh:

$$ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).$$

Áp dụng bất đẳng thức BCS (ở Việt Nam gọi là bất đẳng thức Bunyakovsky) ta có :

$\left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right |\geqslant n^2> n^2(1-r^2)$

(Dấu bằng không thể xảy ra vì $r\in(0;1)$)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh