Chủ đề này có 8 trả lời

[vipboycodon]

Cho a,b,c > 0 .CMR: $\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$

[hoctrocuaHolmes]

Cho a,b,c > 0 .CMR: $\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$

Áp dụng bất đẳng thức phụ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$,ta có

$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b}$$\geq 3$ (1)

mà $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0; (*) (a+b+c)^{2}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{(a+b+c)^{2}}< 0(**)$

từ (*)(**)$\Rightarrow \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}\leq 0$ (2)

Từ (1)(2)$\Rightarrow \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 14-04-2015 - 19:40

[congdaoduy9a]

 

Áp dụng bất đẳng thức phụ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$,ta có

$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b}$$\geq 3$ (1)

mà $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0; (*) (a+b+c)^{2}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{(a+b+c)^{2}}< 0(**)$

từ $(*)(**)$\Rightarrow \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}\leq 0$ (2)

Từ (1)(2)$\Rightarrow \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$(đpcm)

 

Có lẽ nhầm rồi nha !~~ 

[hoctrocuaHolmes]

 

 

 

Có lẽ nhầm rồi nha !~~ 

 

bài này mình làm cũng ko chắc lắm,nếu sai sửa hộ mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 14-04-2015 - 19:46

[congdaoduy9a]

bài này mình làm cũng ko chắc lắm,nếu sai sửa hộ mình còn đoạn $\frac{1}{(a+b+c)^{2}}< 0$ nhầm ở đâu vậy bạn congdaoduy9a

$(a+b+c)^{2}> 0\Rightarrow \frac{1}{(a+b+c)^{2}}> 0$ (thực chất là chia hai vế cho $(a+b+c)^{4}$ vì nó lớn hơn 0 ấy mà ) 

[vipboycodon]

làm sao mà (2) nhỏ hơn hoặc bằng không được bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vipboycodon: 14-04-2015 - 19:49

[nguyenhongsonk612]

Cho a,b,c > 0 .CMR: $\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$

Chuyển $3$ sang vế trái

Cần C/m $\sum \frac{2a}{b+c}-3\geq \frac{\sum (a-b)^2}{(a+b+c)^2}$

Ta có

$\frac{2a}{b+c}-1=\frac{a-b}{b+c}-\frac{c-a}{b+c}$

$\frac{2b}{c+a}-1=\frac{b-c}{c+a}-\frac{a-b}{c+a}$

$\frac{2c}{a+b}-1=\frac{c-a}{a+b}-\frac{b-c}{a+b}$

$VT=\Rightarrow \sum (a-b)\begin{pmatrix} \frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a} \end{pmatrix}=\sum \frac{(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}$

Vậy ta chỉ cần C/m $\sum \frac{(a-b)^2}{(b+c)(c+a)}\geq \frac{\sum (a-b)^2}{(a+b+c)^2}$

BĐT $\Leftrightarrow \sum (a-b)^2\begin{pmatrix} \frac{a^2+b^2+ab+bc+ca}{(b+c)(c+a)(a+b+c)^2} \end{pmatrix}\geq 0$

(đúng)

Vậy ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 14-04-2015 - 19:55

[ducvipdh12]

Áp dụng bất đẳng thức phụ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$,ta có

$\dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b}$$\geq 3$ (1)

mà $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}\geq 0; (*) (a+b+c)^{2}\geq 0\Rightarrow \frac{1}{(a+b+c)^{2}}< 0(**)$

từ (*)(**)$\Rightarrow \dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}\leq 0$ (2)

Từ (1)(2)$\Rightarrow \dfrac{2a}{b+c}+\dfrac{2b}{a+c}+\dfrac{2c}{a+b} \ge 3+\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{(a+b+c)^2}$(đpcm)

bài em sai rõ ràng rồi nhé,với lại đây là một BĐT chặt hơn BĐT Schur nên không thể dùng nó được 

[khanghaxuan]

Giả sử $c=min\begin{Bmatrix} a;b;c \end{Bmatrix}$      

 $2(\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2})\geq \frac{\sum (a-b)^{2}}{(\sum a)^{2}}$(*)

 

$VT=2\frac{(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}+\frac{a+b+2c}{\prod (a+b)}(a-c)(b-c)$

$VP=2\frac{(a-b)^{2}+(a-c)(b-c)}{(\sum a)^{2}}$

 

Ta có :   $(*)\Leftrightarrow 2(a-b)^{2}.A+2(a-c)(b-c).B$

với :  $A=a^{2}+b^{2}+\sum ab\geq 0$

         $B=...=\geq 0$  (chỗ này dài lười đánh  )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 14-04-2015 - 19:56