Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh rằng $P$ chia hết cho $30$ khi và chỉ khi $S$ chia hết cho $30$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K13 - THPT Mai Thúc Loan - Lộc Hà - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán!

Đã gửi 14-04-2015 - 20:23

Cho $S=x+y+z+2015$ và $P=(x+2014)^3+(2y-2015)^3+(3z+2016)^3$
Chứng minh rằng $P$ chia hết cho $30$ khi và chỉ khi $S$ chia hết cho $30$

#2 the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Y Hà Nội
  • Sở thích:Nhiều

Đã gửi 14-04-2015 - 20:28

Cho $S=x+y+z+2015$ và $P=(x+2014)^5+(2y-2015)^5+(3z+2016)^5$
Chứng minh rằng $P$ chia hết cho $30$ khi và chỉ khi $S$ chia hết cho $30$

Theo mình thì đề phải như trên mới đúng 


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#3 Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K13 - THPT Mai Thúc Loan - Lộc Hà - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán!

Đã gửi 14-04-2015 - 20:37

Theo mình thì đề phải như trên mới đúng


Mình thấy đề ghi như thế nhưng bạn làm theo đề bạn sửa xem sao.

#4 the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Y Hà Nội
  • Sở thích:Nhiều

Đã gửi 14-04-2015 - 20:48

Theo mình thì đề phải như trên mới đúng 

Với đề như vậy ta làm như sau 

Đặt $x+2014=a; 2y-2015=b;3z+2016=c \Rightarrow S=x+2y+3z+2015=a+b+c$

Ta cần c/m $a+b+c \vdots 30 \Leftrightarrow a^5+b^5+c^5 \vdots 30$

Xét $a^5-a=a(a^4-1)=a(a-1)(a+1)(a^2+1)=a(a-1)(a+1)(a^2-4)+5a(a-1)(a+1)=a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)$

Do $a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)$ là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2,3 và 5 nghĩa là chia hết cho 30

     $a(a-1)(a+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 nên $5a(a-1)(a+1) \vdots 30$

    $\Rightarrow a^5-a \vdots 30$

Tương tự         $b^5-b \vdots 30$

                        $c^5-c \vdots 30$

    $\Rightarrow a^5+b^5+c^5-(a+b+c) \vdots 30$

Đến đây ta dễ dàng làm tiếp lời giải 


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh