Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $P$ chia hết cho $30$ khi và chỉ khi $S$ chia hết cho $30$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết
Cho $S=x+y+z+2015$ và $P=(x+2014)^3+(2y-2015)^3+(3z+2016)^3$
Chứng minh rằng $P$ chia hết cho $30$ khi và chỉ khi $S$ chia hết cho $30$

#2
the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết

Cho $S=x+y+z+2015$ và $P=(x+2014)^5+(2y-2015)^5+(3z+2016)^5$
Chứng minh rằng $P$ chia hết cho $30$ khi và chỉ khi $S$ chia hết cho $30$

Theo mình thì đề phải như trên mới đúng 


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#3
Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết

Theo mình thì đề phải như trên mới đúng


Mình thấy đề ghi như thế nhưng bạn làm theo đề bạn sửa xem sao.

#4
the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết

Theo mình thì đề phải như trên mới đúng 

Với đề như vậy ta làm như sau 

Đặt $x+2014=a; 2y-2015=b;3z+2016=c \Rightarrow S=x+2y+3z+2015=a+b+c$

Ta cần c/m $a+b+c \vdots 30 \Leftrightarrow a^5+b^5+c^5 \vdots 30$

Xét $a^5-a=a(a^4-1)=a(a-1)(a+1)(a^2+1)=a(a-1)(a+1)(a^2-4)+5a(a-1)(a+1)=a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)$

Do $a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)$ là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2,3 và 5 nghĩa là chia hết cho 30

     $a(a-1)(a+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 nên $5a(a-1)(a+1) \vdots 30$

    $\Rightarrow a^5-a \vdots 30$

Tương tự         $b^5-b \vdots 30$

                        $c^5-c \vdots 30$

    $\Rightarrow a^5+b^5+c^5-(a+b+c) \vdots 30$

Đến đây ta dễ dàng làm tiếp lời giải 


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh