Chứng minh rằng $P$ chia hết cho $30$ khi và chỉ khi $S$ chia hết cho $30$
#1
Đã gửi 14-04-2015 - 20:23
Chứng minh rằng $P$ chia hết cho $30$ khi và chỉ khi $S$ chia hết cho $30$
Facebook: https://www.facebook.com/ntn3004
#2
Đã gửi 14-04-2015 - 20:28
Cho $S=x+y+z+2015$ và $P=(x+2014)^5+(2y-2015)^5+(3z+2016)^5$
Chứng minh rằng $P$ chia hết cho $30$ khi và chỉ khi $S$ chia hết cho $30$
Theo mình thì đề phải như trên mới đúng
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
#3
Đã gửi 14-04-2015 - 20:37
Theo mình thì đề phải như trên mới đúng
Mình thấy đề ghi như thế nhưng bạn làm theo đề bạn sửa xem sao.
Facebook: https://www.facebook.com/ntn3004
#4
Đã gửi 14-04-2015 - 20:48
Theo mình thì đề phải như trên mới đúng
Với đề như vậy ta làm như sau
Đặt $x+2014=a; 2y-2015=b;3z+2016=c \Rightarrow S=x+2y+3z+2015=a+b+c$
Ta cần c/m $a+b+c \vdots 30 \Leftrightarrow a^5+b^5+c^5 \vdots 30$
Xét $a^5-a=a(a^4-1)=a(a-1)(a+1)(a^2+1)=a(a-1)(a+1)(a^2-4)+5a(a-1)(a+1)=a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)$
Do $a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)$ là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2,3 và 5 nghĩa là chia hết cho 30
$a(a-1)(a+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 nên $5a(a-1)(a+1) \vdots 30$
$\Rightarrow a^5-a \vdots 30$
Tương tự $b^5-b \vdots 30$
$c^5-c \vdots 30$
$\Rightarrow a^5+b^5+c^5-(a+b+c) \vdots 30$
Đến đây ta dễ dàng làm tiếp lời giải
- Thu Huyen 21 yêu thích
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh