Chủ đề này có 1 trả lời

[onepiecekizaru]

cho a,b là các số thực thỏa mãn $a+b+4ab= 4a^{2}+4b^{2}$

tìm GTLN của biểu thức A=$20\left ( a^{3}+b^{3} \right )-6\left ( a^{2}+b^{2} \right )+2013$

[Dinh Xuan Hung]

cho a,b là các số thực thỏa mãn $a+b+4ab= 4a^{2}+4b^{2}$

tìm GTLN của biểu thức A=$20\left ( a^{3}+b^{3} \right )-6\left ( a^{2}+b^{2} \right )+2013$

Từ giả thiết ta có
$a+b=4(a^{2}+b^{2}-ab$ suy ra $a^{3}+b^{3}=\frac{(a+b)^{2}}{4}$
$6(a^{2}+b^{2})=2(a+b)^{2}+(a+b)$
suy ra $ A=2(a+b)^{2}+(a+b)(a+b-1)+2013$
ta lại có $ 2a^{2}+2b^{2}\geq 4ab$ do đó từ giả thiết suy ra $a+b \geq 2(a^{2}+b^{2}) \geq (a+b)^{2}$(1)
nếu a+b=0 thì $2(a^{2}+b^{2})=0$ suy ra a=b=0 do đó $A=2013$
nếu a+b khác 0 thì từ (1) ta có $a+b\leq1$
nên $ (a+b)(a+b-1)\leq 0 ; 2(a+b)^{2}\leq 2$ do đó $A\leq 2015$
vậy A max =2015 khi $a=b=\frac{1}{2}$