Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh rằng $\frac{HP}{HQ}=\frac{MB}{MC}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 Pham Le Yen Nhi

Pham Le Yen Nhi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 18-04-2015 - 20:20

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$. Một đường thẳng bất kì qua H cắt AB,AC tại P,Q. Đường thẳng qua $H$ vuông góc $PQ$ cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng $\frac{HP}{HQ}=\frac{MB}{MC}$

Bài 2: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp (O). $M,N$ là trung điểm $AB,CD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANB$ cắt $CD$ tại $Q$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCD$ cắt $AB$ tai $P$. Chứng minh rằng $AC,BD,PQ$ đồng quy.



#2 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 18-04-2015 - 21:40

Bài 2

untitled.PNG

Bỏ qua trường hợp tầm thường $AB//CD$

Xét trường hợp $AB$ không song song $CD$, gọi $S$ là giao điểm của chúng

Dễ thấy $\overline{SA}.\overline{SB}=\overline{SC}.\overline{SD}(1)$

Xét phương tích của $S$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABN$ ta có 

$P_{S/(ABN)}=P_{S/(O))}<=>\overline{SN}.\overline{SP}=\overline{SA}.\overline{SB}$

Kết hợp với $(1)$ suy ra $\overline{SN}.\overline{SP}=\overline{SC}.\overline{SD}$

Áp dụng hệ thức $Ma-clau-rin$ cho kết quả trên suy ra $(SPDC)=-1$

Chứng minh tương tự ta cũng có $(SQBA)=-1$

Do $AB,CD$ cắt nhau ở $S$ và $(SPDC)=(SQBA)=-1$ nên $AC,BD,PQ$ đồng quy

 


NgọaLong

#3 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 18-04-2015 - 22:50

Bài 1 là một dạng mở rộng của bài Moldova TST 2010 nếu coi vị trí của $M$ là trung điểm BC:

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm và $M$ là trung điểm $BC$.Kẻ đường thẳng qua $H$ vuông góc với $HM$ và cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$.CMR $MP=MQ$

Các bác chém bài này thử rồi tìm hiểu bài kia


NgọaLong

#4 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 555 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 25-04-2015 - 23:35

Bài Moldova TST 2010 ở đây.


Sống thành thật một cách thông minh.
Sống lãng mạn một cách thực tế.


#5 Phung Quang Minh

Phung Quang Minh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 359 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng

Đã gửi 26-04-2015 - 00:42

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$. Một đường thẳng bất kì qua H cắt AB,AC tại P,Q. Đường thẳng qua $H$ vuông góc $PQ$ cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng $\frac{HP}{HQ}=\frac{MB}{MC}$

Bài 2: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp (O). $M,N$ là trung điểm $AB,CD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANB$ cắt $CD$ tại $Q$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCD$ cắt $AB$ tai $P$. Chứng minh rằng $AC,BD,PQ$ đồng quy.

1)-Từ P kẻ PN//AC (N thuộc HC).

-Vì PN//AC => PH/HQ= HN/HC (1).

-Vì PN//AC và AC vuông góc với HB => NP vuông góc với HB. Lại có: BP vuông góc với HN.

=> P là trực tâm tam giác NBH => HP vuông góc với NB. Mà HP vuông góc với HM.

=> HM//NB => HN/HC= MB/MC (2).

-Từ (1);(2) => đpcm.



#6 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 02-05-2015 - 18:36

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ trực tâm $H$. Một đường thẳng bất kì qua H cắt AB,AC tại P,Q. Đường thẳng qua $H$ vuông góc $PQ$ cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh rằng $\frac{HP}{HQ}=\frac{MB}{MC}$

xem ở đây


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh