Chủ đề này có 1 trả lời

[Pham Le Yen Nhi]

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa $a+b+c=0$. Chứng minh $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+6abc \geq -3$

[nhungvienkimcuong]

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa $a+b+c=0$. Chứng minh $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+6abc \geq -3$

đặt $n=ab+bc+ca$ và $p=-abc$ ta có được $a,b,c$ là ba nghiệm của phương trình $x^3-nx+p=0$

ta có $p^2\leq \frac{-4}{27}n^3$

ta cần chứng minh $n^2-6p\geq -3$,thật vậy 

dễ thấy $(n^2+3)^2\geq \frac{-144}{27}.n^3\geq 36p^2\Rightarrow n^2+3\geq 6p$

do đó bđt được chứng minh