Cho các số thực $a,b,c$ thỏa $a+b+c=0$. Chứng minh $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+6abc \geq -3$
Chứng minh $\sum a^{2}b^{2} +6abc\geq -3$
Bắt đầu bởi Pham Le Yen Nhi, 18-04-2015 - 20:25
#1
Đã gửi 18-04-2015 - 20:25
#2
Đã gửi 02-05-2015 - 18:47
Cho các số thực $a,b,c$ thỏa $a+b+c=0$. Chứng minh $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+6abc \geq -3$
đặt $n=ab+bc+ca$ và $p=-abc$ ta có được $a,b,c$ là ba nghiệm của phương trình $x^3-nx+p=0$
ta có $p^2\leq \frac{-4}{27}n^3$
ta cần chứng minh $n^2-6p\geq -3$,thật vậy
dễ thấy $(n^2+3)^2\geq \frac{-144}{27}.n^3\geq 36p^2\Rightarrow n^2+3\geq 6p$
do đó bđt được chứng minh
- Pham Le Yen Nhi yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh