Giả sử $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$$\in \mathbb{Z}$ là 1 số nguyên.
Gọi $d$ là ước số của $a$ và $b$. Chứng minh rằng: $d\leq \sqrt{a+b}$
$\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a} \in \mathbb{Z}$.CMR:$d\leq \sqrt{a+b}$
Bắt đầu bởi Truong Gia Bao, 18-04-2015 - 20:48
#1
Đã gửi 18-04-2015 - 20:48
Truong Gia Bao
-
- Điều hành viên THPT
-
- 511 Bài viết
Thiếu úy
"Điều quan trọng không phải là vị trí ta đang đứng, mà là hướng ta đang đi."
#2
Đã gửi 18-04-2015 - 21:24
Pham Le Yen Nhi
-
- Thành viên
-
- 98 Bài viết
Hạ sĩ
Giả sử $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$$\in \mathbb{Z}$ là 1 số nguyên.
Gọi $d$ là ước số của $a$ và $b$. Chứng minh rằng: $d\leq \sqrt{a+b}$
Vì $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a^{2}+b^{2}+a+b}{ab}$ là số nguyên
$\Rightarrow (a^{2}+b^{2}+a+b)\vdots ab$
Mà ta có $d=(a,b)$ nên $ab\vdots d^{2}$
Suy ra $(a^{2}+b^{2}+a+b)\vdots d^{2}$ và $(a^{2}+b^{2})\vdots d^{2}$
Vậy nên $(a+b)\vdots d^{2}$ $\Rightarrow a+b\geq d^{2}$ suy ra đpcm
- Dung Du Duong và Truong Gia Bao thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
