Ngày 1
Câu 1
Chứng minh rằng: $$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{(n+1)^2} < n \cdot \left(1-\frac{1}{\sqrt[n]{2}}\right).$$
Câu 2
Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $$x^yy^x=(x+y)^z$$
Câu 3
Câu 3
Một hình chữ nhật được gọi là nội tiếp một hình tam giác nếu tất cả các đỉnh của nó đều thuộc các cạnh của tam giác. Chứng minh rằng tập hợp các tâm hình chữ nhật nội tiếp một tam giác nhọn là ba đoạn thẳng đồng quy không đóng.
Ngày 2
Câu 4
Đặt $P_k(n)$ là tích tất cả các số là ước nguyên dương của $n$ và chia hết cho $k$ (Nếu không có số nào thì quy ước tích bằng $1$). Chứng minh rằng $P_1(n)P_2(n)...P_n(n)$ là bình phương một số hoàn hảo với bất kì số $n$.
Câu 5
Tìm tất cả các bộ $(x_1,x_2,...,x_n ), (n \geq 4)$ là một hoán vị của $\{1,2,...,n\}$ sao cho khi $1 \leq i \leq n-2 $ ta có: $ x_i < x_{i+2}$ và khi $1 \leq i \leq n-3$ ta có $x_i < x_{i+3}$.
Câu 6
Tứ giác $ABCD$ có đường tròn nội tiếp đường kính $d$, tiếp xúc với cạnh $BC$ tại $K$ và tiếp xúc với $DA$ tại $L$. Mệnh đề sau là đúng hay sai:
"Trung bình điều hòa của $ AB $ và $ CD $ bằng $ KL $ nếu và chỉ nếu trung bình hình học của $ AB $ và $ CD $ bằng $ d $?"
