Chủ đề này có 2 trả lời

[thansau99]

Giả sử a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 1.

Chứng minh rằng: $\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\geq 8\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 21-04-2015 - 12:48

[25 minutes]

Giả sử a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 1.

Chứng minh rằng: $\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\geq 8\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )$

Đặt $t=ab+bc+ca$

Khi đó $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=t^2-2abc(a+b+c)\leqslant t^2$

$\Rightarrow \frac{ab+bc+ca}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\geqslant \frac{1}{t}$ và $8(a^2+b^2+c^2)=8(1-2t)$

Do đó ta chỉ cần chứng minh 

            $\frac{1}{t}\geqslant 8(1-2t)\Leftrightarrow (4t-1)^2\geqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a+b+c=1\\abc=0 \\t=ab+bc+ca=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

[Hoang Nhat Tuan]

Giả sử a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 1.

Chứng minh rằng: $\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\geq 8\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )$

Ta có: $\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\geq \frac{ab+bc+ca}{(ab+bc+ca)^{2}}=\frac{1}{ab+bc+ca}$

cần chứng minh $\frac{1}{ab+bc+ca}\geq 8(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

<=> $4(a^{2}+b^{2}+c^{2})(2ab+2bc+2ca)\leq 1$

Áp dụng Cauchy ta được $VT\leq (a+b+c)^{4}=1$

=> Điều phải chứng minh