Đến nội dung

Hình ảnh

Hình vuông ABCD. $I \in AB$. $E=DI \cap BC$, $F=CI \cap AE$. Chứng minh $BF \perp DE$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết

Cho hình vuông $ABCD$. Lấy $I$ bất kì trên cạnh $AB$ (không trùng $A,B$). Gọi $E$ là giao điểm của $DI$ và $BC$. $F$ là giao điểm của $CI$ và $AE$. Chứng minh $BF \perp DE$

 

hinhvuong-vuonggoc.png



#2
Chung Anh

Chung Anh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 420 Bài viết

Cho hình vuông $ABCD$. Lấy $I$ bất kì trên cạnh $AB$ (không trùng $A,B$). Gọi $E$ là giao điểm của $DI$ và $BC$. $F$ là giao điểm của $CI$ và $AE$. Chứng minh $BF \perp DE$

 

 

chunganh.kk.PNG

Gọi $P$ là giao của $AD$ và $CI;K$ là giao của $BP$ và $AE;Q$ là giao của $PB$ và $DI$ 

Dễ chứng minh $\Delta ABP\sim \Delta BEA(c.g.c)\Rightarrow \widehat{AKB}=90^{\circ} $

Theo Ta-lét có    $ \frac{PF}{PC}=\frac{AP}{AP+CE}\Rightarrow PC.PA=PF(AP+CE) $      

Và $\frac{PI}{PC}=\frac{AP}{AP+CB}\Rightarrow PC.PA=PI(AP+CB) $

=>$PF(AP+CE)=PI(AP+CB) \Rightarrow \frac{PF}{PI}=\frac{AP+CB}{AP+CE}=\frac{PD}{PD+BE} $

Lại có $\frac{PQ}{PB}=\frac{DP}{DP+BE} $

=>$\Rightarrow \frac{PF}{PI}=\frac{PQ}{PB}\Rightarrow FQ//AB\Rightarrow  FQ$ và $BE$ vuông góc với nhau

Nên Q là trực tâm tam giác $FBE$

=>$đpcm$


Chung Anh


#3
Phung Quang Minh

Phung Quang Minh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 359 Bài viết

attachicon.gifchunganh.kk.PNG

Gọi $P$ là giao của $AD$ và $CI;K$ là giao của $BP$ và $AE;Q$ là giao của $PB$ và $DI$ 

Dễ chứng minh $\Delta ABP\sim \Delta BEA(c.g.c)\Rightarrow \widehat{AKB}=90^{\circ} $

Theo Ta-lét có    $ \frac{PF}{PC}=\frac{AP}{AP+CE}\Rightarrow PC.PA=PF(AP+CE) $      

Và $\frac{PI}{PC}=\frac{AP}{AP+CB}\Rightarrow PC.PA=PI(AP+CB) $

=>$PF(AP+CE)=PI(AP+CB) \Rightarrow \frac{PF}{PI}=\frac{AP+CB}{AP+CE}=\frac{PD}{PD+BE} $

Lại có $\frac{PQ}{PB}=\frac{DP}{DP+BE} $

=>$\Rightarrow \frac{PF}{PI}=\frac{PQ}{PB}\Rightarrow FQ//AB\Rightarrow  FQ$ và $BE$ vuông góc với nhau

Nên Q là trực tâm tam giác $FBE$

=>$đpcm$

-Bạn ơi, dòng thứ 3 từ dưới lên phải là FQ và CE vuông góc với nhau.



#4
Phung Quang Minh

Phung Quang Minh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 359 Bài viết

Cho hình vuông $ABCD$. Lấy $I$ bất kì trên cạnh $AB$ (không trùng $A,B$). Gọi $E$ là giao điểm của $DI$ và $BC$. $F$ là giao điểm của $CI$ và $AE$. Chứng minh $BF \perp DE$

 

hinhvuong-vuonggoc.png

-Từ E kẻ EH//AB (H thuộc CI); BF cắt EH tại K; FB cắt BC tại M.

-Vì AB// KE => IA/HE= AF/FE= AB/EK      => IA/AB= HE/EK      => IA/AD= HE/KE (1).

-Vì HE// AB// DC  => HE/CD= IH/IC= BE/BC. Mà CD=BC          => HE=BE  => HE/KE= BE/KE (2).

-Vì tam giác BCM đồng dạng với tam giác BEK (g.g)   => BC/CM= BE/KE (3).

-Từ (1);(2);(3) => BC/CM= IA/AD  => tam giác BCM đồng dạng với tam giác IAD (c.g.c)   => góc CBM= góc AID

=> 90 độ= góc BMC+ CBM= góc BMC+ góc DIA= góc BMC+ góc CDI (Do AI//DC).

=> DE vuông góc với BF (đpcm).






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh