Chủ đề này có 3 trả lời

[the man]

  ĐỀ THI  CHUYÊN TOÁN-TIN, ĐHKHTN-ĐHQG HÀ NỘI  1994-1995

                                                     Thời gian:150 phút 

Bài 1. Giải hệ phương trình:

       $\left\{\begin{matrix}(x+y)(y+z)=4xy^2z & & & \\ (y+z)(z+x)=4yz^2x & & & \\ (z+x)(x+y)=4zx^2y & & & \end{matrix}\right.$

Bài 2. Giải phương trình nghiệm nguyên:

                             $12x^2+6xy+3y^2=28(x+y)$

Bài 3.

   Xác định các giá trị nguyên dương $n$ ($n \geq3$) sao cho $A=n!$ chia hết cho $B=1+2+3+...+n$

Bài 4. Cho $a,b,c \geq1$. Chứng minh rằng 

         $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{bc^3}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{ca^3}}$

Bài 5.

   Cho $\Delta ABC $ cân ở $A$

  1.Chứng minh rằng nếu $\widehat{BAC}=20^{\circ}$ thì luôn tìm được các điểm $D,K$ trên các cạnh $AB,AC$ sao cho $AD=DK=KC=CB$

  2. Ngược lại chứng minh rằng nếu tồn tại các điểm $D,K$ trên các cạnh $AC,AB$ sao cho $AD=DK=KC=CB$ thì $\widehat{BAC}=20^{\circ}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 21-04-2015 - 21:11

[A piece of life]

  ĐỀ THI  CHUYÊN TOÁN-TIN, ĐHKHTN-ĐHQG HÀ NỘI  1994-1995

                                                     Thời gian:150 phút 

Bài 3.

   Xác định các giá trị nguyên dương $n$ ($n \geq3$) sao cho $A=n!$ chia hết cho $B=1+2+3+...+n$

- Dễ thấy $n$ lẻ thỏa mãn
- Với $n$ chẵn, ta cần tìm $n$ để $n! \ \vdots \ n+1$

Ta chứng minh được : Nếu $n+1$ không nguyên tố thì $n! \ \vdots \ n+1$
Vậy $n+1$ không nguyên tố thì $n$ thỏa mãn. 

[hoanglong2k]

  ĐỀ THI  CHUYÊN TOÁN-TIN, ĐHKHTN-ĐHQG HÀ NỘI  1994-1995

                                                     Thời gian:150 phút 

Bài 4. Cho $a,b,c>1$. Chứng minh rằng 

         $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{bc^3}}+\frac{1}{1+\sqrt[4]{ca^3}}$

 

 

Áp dụng bất đẳng thức phụ sau: 

 Nếu $x,y\geq 1$ thì $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

Ta có: $\sum \frac{1}{1+a}=\frac{1}{2}\sum (\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})\geq \sum \frac{1}{1+\sqrt{ab}}$

$\Rightarrow 2\sum \frac{1}{a+1}\geq \sum \left ( \frac{1}{1+\sqrt{ab}}+\frac{1}{1+b} \right )\geq \sum \frac{2}{1+\sqrt[4]{ab^3}}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a+1}\geq \sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}}$

 

Chứng minh xong. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 22-04-2015 - 13:22

[nloan2k1]

Áp dụng bất đẳng thức phụ sau: 

 Nếu $x,y\geq 1$ thì $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

Ta có: $\sum \frac{1}{1+a}=\frac{1}{2}\sum (\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})\geq \sum \frac{1}{1+\sqrt{ab}}$

$\Rightarrow 2\sum \frac{1}{a+1}\geq \sum \left ( \frac{1}{1+\sqrt{ab}}+\frac{1}{1+b} \right )\geq \sum \frac{2}{1+\sqrt[4]{ab^3}}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a+1}\geq \sum \frac{1}{1+\sqrt[4]{ab^3}}$

 

Chứng minh xong. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Baats ddawnrg thwsc phuj nafy ddwowcj chwnsg minh nhw thees nafo laf ngawns nhaast aj?