$\sqrt[3]{x+7}=1+\sqrt{x}$
#1
Đã gửi 20-04-2015 - 23:55
#2
Đã gửi 21-04-2015 - 01:04
$\sqrt[3]{x+7}=1+\sqrt{x}\quad (\ast)$
ĐK: $x\ge 0$
$$(\ast)\Leftrightarrow \sqrt[3]{x+7}-2+1-\sqrt{x}=0$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{\sqrt[3]{(x+7)^2}+2\sqrt[3]{x+7}+4}+\dfrac{1-x}{\sqrt{x}+1}=0$$ $$\Leftrightarrow (x-1)\left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{(x+7)^2}+2\sqrt[3]{x+7}+4}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right) =0$$
Dễ thấy, $\sqrt[3]{(x+7)^2}=\sqrt[6]{(x+7)^4}>\sqrt[6]{x^3}=\sqrt{x}$ nên $$\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x+7)^2}+2\sqrt[3]{x+7}+4}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}<0\quad \forall x\ge 0.$$ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$.
- hoctrocuaZel và the man thích
Hãy tìm hiểu trước khi hỏi!
Hãy hỏi TẠI SAO thay vì hỏi NHƯ THẾ NÀO và thử cố gắng tự trả lời trước khi hỏi người khác!
Hãy chia sẻ với $\sqrt{\text{MF}}$ những gì bạn học được, hãy trao đổi với $\sqrt{\text{MF}}$ những vấn đề bạn còn băn khoăn!
Facebook: Cùng nhau học toán CoolMath
Website: Cungnhauhoctoan.com
#3
Đã gửi 21-04-2015 - 08:41
Other Solution
$\sqrt[3]{x+7}=1+\sqrt{x}$ (1)
Điều kiện: $x\geq 0$
$(1)\Leftrightarrow \sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x}=1;(2)$
Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt[3]{x+7} \\ b=\sqrt{x} \end{matrix}\right. \Rightarrow a^{3}-b^{2}=7;(3)$
Từ $(2)$ và $(3)$, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} a^{3}-b^{2}=7 \\ a-b=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b+1 \\ b^{3}+2b^{2}+3b-6=0;(4) \end{matrix}\right.$
Phương trình bậc 3 theo ẩn $b$ có tổng hệ sống bằng $0$, dùng hạ bậc HoocNe, ta được
$(4)\Leftrightarrow (b-1)(b^{2}+3b+6)=0 \Leftrightarrow b=1\Rightarrow a=2$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{x+7}=2 \\ \sqrt{x}=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=1$ (nhận)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$.
P/s: Nếu ở bước giải $a$ với $b$ mà bạn lấy $b=...$ thay vào phương trình kia thì bậc 3 ra nghiệm bằng $2$, hơi khó đoán nghiệm .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vito Khang Scaletta: 21-04-2015 - 08:43
- hoctrocuaZel yêu thích
$\sqrt{MF}$
>! Vietnamese Mathematical Forum !<
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pt
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
$\log_{3}{\frac{x^2+x+1}{x}}=2-2x-x^2$Bắt đầu bởi NAT, 19-11-2022 pt, phuongtrinh |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
Bài tập về giải phương trình (bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ...)Bắt đầu bởi thptpbc, 30-07-2019 pt, phương trình, đặt ẩn phụ |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình →
$ \sqrt{\sqrt{3} -x} = x\sqrt{\sqrt{3}+x} $Bắt đầu bởi Sin99, 01-07-2019 pt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tìm $m$Bắt đầu bởi ViTuyet2001, 25-11-2018 pt, giải hệ pt |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình →
Giải PT bằng PP đặt 1 ẩn phụBắt đầu bởi nguyenmark, 05-11-2018 pt, phương trình |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh