Đến nội dung


Hình ảnh
- - - - -

$\sum \frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{10}{(a+b+c)^2}+\frac{28abc(a+b+c)}{\prod (a^2+b^2)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 348 Bài viết

Đã gửi 21-04-2015 - 06:47

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm, không có 2 số nào đồng thời bằng không.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\geq \frac{10}{(a+b+c)^2}+\frac{28abc(a+b+c)}{27(a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2)}$



#2 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1555 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 21-04-2015 - 12:44

Chuẩn hóa $a+b+c=1$ và đặt $q=ab+bc+ca, r=abc$

$(INEQ)\Leftrightarrow f( r )=10r^2+\left[20(1-2q)-\dfrac{82}{27}\right]r+(1-2q)^2+q^2-10q^2(1-2q)\geqslant 0$

Dễ thấy đây là một hàm số đơn điệu theo $r$. Vậy là ta có hai trường hợp cần xét:

Trường hợp $b=c=1$ thì ta cần chứng minh $\dfrac{2}{a^2+1}+\dfrac{1}{2}\geqslant \dfrac{10}{(a+2)^2}+\dfrac{14a(2a+1)}{27(a^2+1)^2}$

Trường hợp $c=0, b=1$ thì ta cần chứng minh $\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{a^2}+1\geqslant \dfrac{10}{(a+1)^2}$

Hai bất đẳng thức này dùng biến đổi tương đương hoặc khảo sát hàm số.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3 longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 348 Bài viết

Đã gửi 21-04-2015 - 13:03

Chuẩn hóa $a+b+c=1$ và đặt $q=ab+bc+ca, r=abc$

$(INEQ)\Leftrightarrow f( r )=10r^2+\left[20(1-2q)-\dfrac{82}{27}\right]r+(1-2q)^2+q^2-10q^2(1-2q)\geqslant 0$

Dễ thấy đây là một hàm số đơn điệu theo $r$. Vậy là ta có hai trường hợp cần xét:

Trường hợp $b=c=1$ thì ta cần chứng minh $\dfrac{2}{a^2+1}+\dfrac{1}{2}\geqslant \dfrac{10}{(a+2)^2}+\dfrac{14a(2a+1)}{27(a^2+1)^2}$

Trường hợp $c=0, b=1$ thì ta cần chứng minh $\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{a^2}+1\geqslant \dfrac{10}{(a+1)^2}$

Hai bất đẳng thức này dùng biến đổi tương đương hoặc khảo sát hàm số.

Nếu thế thì $a=0$ luôn rồi cái khúc sau không nhiều ý nghĩa



#4 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1555 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 21-04-2015 - 13:04

Chuẩn hóa $a+b+c=1$ và đặt $q=ab+bc+ca, r=abc$

$(INEQ)\Leftrightarrow f( r )=10r^2+\left[20(1-2q)-\dfrac{82}{27}\right]r+(1-2q)^2+q^2-10q^2(1-2q)\geqslant 0$

Dễ thấy đây là một hàm số đơn điệu theo $r$. Vậy là ta có hai trường hợp cần xét:

Trường hợp $b=c=1$ thì ta cần chứng minh $\dfrac{2}{a^2+1}+\dfrac{1}{2}\geqslant \dfrac{10}{(a+2)^2}+\dfrac{14a(2a+1)}{27(a^2+1)^2}$

Trường hợp $c=0, b=1$ thì ta cần chứng minh $\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{a^2}+1\geqslant \dfrac{10}{(a+1)^2}$

Hai bất đẳng thức này dùng biến đổi tương đương hoặc khảo sát hàm số.

Từ hàm số $f( r )$ có thể phân tách hai trường hợp $q\leqslant \dfrac{1}{4}$ thì đánh giá cho $r\geqslant 0$ và $q\in \left[\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{3}\right]$ dùng Schur bậc 3 cho $r$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 21-04-2015 - 13:04

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#5 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1555 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 21-04-2015 - 13:06

Nếu thế thì $a=0$ luôn rồi cái khúc sau không nhiều ý nghĩa

Khi chứng minh xong $f( r )$ tăng thì ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $b=c$ và chuẩn hóa $b=c=1$ ở bất đẳng thức đầu hoặc $c=0$ và chuẩn hóa $b=1$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#6 longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 348 Bài viết

Đã gửi 21-04-2015 - 13:09

Khi chứng minh xong $f( r )$ tăng thì ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $b=c$ và chuẩn hóa $b=c=1$ ở bất đẳng thức đầu hoặc $c=0$ và chuẩn hóa $b=1$

Vậy ban đầu mình thấy bạn cũng không cần phải chuẩn hóa $a+b+c$ vì sau khi khai triển thì bậc cao nhất của $abc$ là 2 và ta đã biết hệ số của nó luôn dương.



#7 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1555 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 21-04-2015 - 13:11

Vậy ban đầu mình thấy bạn cũng không cần phải chuẩn hóa $a+b+c$ vì sau khi khai triển thì bậc cao nhất của $abc$ là 2 và ta đã biết hệ số của nó luôn dương.

Hệ số của nó dương, nhưng hệ số bậc nhất của nó chưa chắc dương nên chuẩn hóa cho $a+b+c=1$ nhằm mục đích làm gọn và phá mẫu $(a+b+c)^2$, còn để yên chứng minh hệ số bậc nhất và bậc hai dương vẫn được nhưng ghét khai triển $p,q,r$ dạng đầy đủ nên không thích lắm.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#8 longatk08

longatk08

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 348 Bài viết

Đã gửi 21-04-2015 - 13:21

Hệ số của nó dương, nhưng hệ số bậc nhất của nó chưa chắc dương nên chuẩn hóa cho $a+b+c=1$ nhằm mục đích làm gọn và phá mẫu $(a+b+c)^2$, còn để yên chứng minh hệ số bậc nhất và bậc hai dương vẫn được nhưng ghét khai triển $p,q,r$ dạng đầy đủ nên không thích lắm.

Cho mình hỏi một chút về định lý ABC nhé,trong hệ quả của định lý mình thấy nêu là chỉ cần hệ số gắn với abc bậc 2 dương thì ta có thể áp dụng đc tại sao lại cần chứng minh cả hệ số bậc nhất nó dương hả bạn!



#9 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1555 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 21-04-2015 - 13:48

Cho mình hỏi một chút về định lý ABC nhé,trong hệ quả của định lý mình thấy nêu là chỉ cần hệ số gắn với abc bậc 2 dương thì ta có thể áp dụng đc tại sao lại cần chứng minh cả hệ số bậc nhất nó dương hả bạn!

Định lý nói $f( r )$ lồi thì đạt cực đại tại hai biến bằng nhau hoặc một biến bằng không chứ không nói đến cực tiểu. Để có cực tiểu thì cần có $f( r )$ đơn điệu.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#10 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 940 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-01-2017 - 23:27

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm, không có 2 số nào đồng thời bằng không.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\geq \frac{10}{(a+b+c)^2}+\frac{28abc(a+b+c)}{27(a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2)}$

 

Đặt

\[P = \frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2} - \frac{10}{(a+b+c)^2}-\frac{28abc(a+b+c)}{27(a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2)},\]

thì

\[P = \frac{\displaystyle \sum ab(175a^2+54ab+175b^2+100c^2)(a-b)^2+\sum c(41a+41b+54c)(a-c)^2(b-c)^2}{54(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)(a+b+c)^2} \geqslant 0.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh