Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Chp $\alpha, \beta$ là hai số thực bất kì mà $|\alpha|\neq |\beta|$. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ liên tục tại $0$ thỏa mãn $$f(\alpha x)=f(\beta x)+x^2$$

vói mọi $x\in \mathbb{R}$. Có tồn tại hàm $f$ thỏa mãn điều kiện trên không nếu $|\alpha|=|\beta|$

[Idie9xx]

 

Chp $\alpha, \beta$ là hai số thực bất kì mà $|\alpha|\neq |\beta|$. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ liên tục tại $0$ thỏa mãn $$f(\alpha x)=f(\beta x)+x^2$$

vói mọi $x\in \mathbb{R}$. Có tồn tại hàm $f$ thỏa mãn điều kiện trên không nếu $|\alpha|=|\beta|$

 

Thiết nghĩ bài này chỉ cần xét các trường hợp $\alpha =0, \beta =0 ,\alpha > \beta, \alpha <\beta$

Với $\alpha > \beta$ ta có

$f(x)=f(\frac{\beta x}{\alpha})+(\frac{x}{\alpha})^2=f((\frac{\beta }{\alpha})^2x)+(\frac{x}{\alpha})^2+(\frac{\beta }{\alpha})^2 (\frac{x}{\alpha})^2=...=f((\frac{\beta }{\alpha})^{2^n}x)+ (\frac{x}{\alpha})^2(\dfrac{1- (\frac{\beta}{\alpha})^{2^n}}{1- \frac{\beta}{\alpha}})$

Cho $n$ tiến tới vô cùng là sẽ giải được một trường hợp của bài.

Các trường hợp khác chắc dễ rồi

Trường hợp $|\alpha |=|\beta |$ thì thay $x$ bằng $-x$ sẽ thấy không tồn tại hàm thỏa.