mình xin được nói về các công thức tổng quát trong các bài tóan về đa thức,đặc biệt là đối với các bài tóan đa thức nguyên
Công thức nội suy Abel-Newton:
Mọi đa thức bậc n đều có thể víêt dưới dạng
$P(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{1})+a_{2}(x-x_{1})(x-x_{2})+...+a_{n}(x-x_{1})...(x-x_{n})$
trong đó $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ là các số cho trước,còn $a_{0},a_{1},...,a_{n}$ được tính theo hệ số của đa thức $P(x)$
VD:
Tìm tam thức bậc 2 $f(x)$ thỏa mãn điều kiện
$f(0)=19;f(1)=5;f(2)=2015$
Công thức nội suy Lagrange:
Cho đa thức $P(x)$ có bậc không quá n,cho n+1 số $x_{0},x_{1},...x_{n}$ ( mỗi số còn được gọi là mốc ) đôi một khác nhau. Khi đó,$P(x)$ có thể biểu diễn dưới dạng
$P(x)=\sum_{k=0}^{n}P(x_{k})(\coprod_{j=0,j\neq k}^{n}\frac{x-x_{j}}{x_{k}-x_{j}})$
VD:
Hàm $f(x)=ax^2+bx+c$ thỏa mãn điều kiện $\left | f(-1) \right |\leq 1;\left | f(0) \right |\leq 1;\left | f(1) \right |\leq 1$
Chứng minh rằng $\left | f(x) \right |\leq \frac{5}{4}\forall x\epsilon \left [ -1,1 \right ]$
Công thức biểu diễn khác:
-Mọi đa thức $P(x)$ bậc n đều có thể biểu diễn dưới dạng
$P(x)=a_{0}+a_{1}.\begin{pmatrix} x\\ 1 \end{pmatrix}+...+a_{n-1}.\begin{pmatrix} x\\ n-1 \end{pmatrix}+a_{n}.\begin{pmatrix} x\\ n \end{pmatrix}$
trong đó: $\begin{pmatrix} x\\ k \end{pmatrix}=\frac{(x(x-1)...(x-k+1))}{k!}$
Khi đó:+/ $P(x)$ nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi $a_{0},a_{1},...,a_{n}\epsilon \mathbb{Z}$
+/ Nếu đa thức $P(x)$ bậc n,nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên thì đa thức $n!P(x)$ là đa thức có các hệ số nguyên.
VD: Cho $f(x)=ax^2+bx+c$.CMR:
$f(x)\epsilon \mathbb{Z}\Leftrightarrow 2a,a+b,c\epsilon \mathbb{Z}$
Đa thức Chebyshev:
trong các đa thức có dạng
$f(x)=2^{n-1}x^n+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}$,đa thức duy nhất thỏa mãn điều kiện $\left | f(x) \right |\leq 1,\forall x,\left | x \right |\leq 1$ là đa thức Chebyshev $T_{n}(x)$ xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix} T_{0}(x)=1;T_{1}(x)=1\\ T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x),\forall n\geq 0 \end{matrix}\right.$
P/s: đây là một số công thức tương đối quen thuộc với các bạn,còn bài tập thì mình đang tổng hợp,sẽ up lên sau 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducvipdh12: 22-04-2015 - 17:19
