Bài toán.(Putnam ? ) Hỏi với giá trị của n như thế nào thì tích phân
$I=\int_{0}^{2\pi }cosxcos2x...cosnxdx$ có giá trị khác không ? ,
Lời giải .
Áp dụng định lí Morvie : $e^{ix}=cosx+isinx$ ta dễ dàng suy ra $cosx=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})$ thay vào biểu thức của $I$ ta thấy
$I=\frac{1}{2^{n}}\int_{0}^{2\pi }(e^{ix}+e^{-ix})(e^{2ix}+e^{-2ix})...(e^{nix}+e^{-nix})dx=\frac{1}{2^{n}}\int_{0}^{2\pi }\sum_{\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}...\varepsilon _{n}=\pm 1}e^{(\varepsilon _{1}+2\varepsilon _{2}+...n\varepsilon _{n})ix}dx$=
$\frac{1}{2^{n}}\sum_{\varepsilon _{1},...\varepsilon _{n}=\pm 1}\int_{0}^{2\pi }e^{(\epsilon _{1}+2\varepsilon _{2}+...+n\varepsilon _{n})ix}dx$
Ta có : $\int_{0}^{2\pi }e^{mix}dx=2\pi$ nếu $m=0$ và bằng 0 trong trường hợp $m\neq 0$.
Do đó: $I=\frac{\pi}{2^{n-1}}S(n)$
trong đó $S(n)$ là số cách chọn các dấu +, - sao cho $\pm 1\pm 2\pm...\pm n=0$.(Do n=0 hiển nhiên làm cho tích phân ban đầu khác không nên ở đây ta chỉ xét các giá trị $n\geq 1$ )
Bài toán của ta trở thành tìm n sao cho $S(n)\neq 0$.
Ta xét các trường hợp của n
Nếu $n=4k$ thì từ đẳng thức : $(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+...+((4k-3)-(4k-2)-(4k-1)+4k)=0$ ta suy ra $S(n)\neq 0$
Nếu n=4k+3 thì từ đẳng thức: $(1+2-3)+(4-5-6+7)+...+((4k)-(4k+1)-(4k+2)+(4k+3))=0$ ta cũng suy ra $S(n)\neq 0$
Nếu n=4k+1 hoặc 4k+2:
$\varepsilon _{1}+2\varepsilon _{2}+...+n\varepsilon _{n}\equiv 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\not\equiv 0 mod2$ , trong đó $\varepsilon _{1},...\varepsilon _{n}=\pm 1$ nên $S(n)=0$
Từ khảo sát trên ta dễ thấy giá trị cần tìm là n=4k , n=4k+3 , trong đó k là số tự nhiên nào đó
