Chủ đề này có 1 trả lời

[duaconcuachua98]

Cho $a>2,b>0,c>0$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}-4a+5}}-\frac{1}{(a-1)(b+1)(c+1)}$

[25 minutes]

Cho $a>2,b>0,c>0$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}-4a+5}}-\frac{1}{(a-1)(b+1)(c+1)}$

Đặt $a-2=t>0$, khi đó $P=\frac{1}{2\sqrt{t^2+b^2+c^2+1}}-\frac{1}{(t+1)(b+1)(c+1)}$

Áp dụng C-S và AM-GM ta có 

       $t^2+b^2+c^2+1\geqslant \frac{(t+b+c+1)^2}{4}\Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{t^2+b^2+c^2+1}}\leqslant \frac{1}{t+b+c+1}$

      $\sqrt[3]{(t+1)(b+1)(c+1)}\leqslant \frac{t+b+c+3}{3}\Rightarrow \frac{1}{(t+1)(b+1)(c+1)}\geqslant \frac{27}{(t+b+c+3)^3}$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{1}{t+b+c+1}-\frac{27}{(t+b+c+3)^3}$

Sau đó đặt $k=t+b+c+1>1$ rồi khảo sát hàm số