SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
HÀ NAM NĂM HỌC 2014-2015
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1: Cho biểu thức $M=\frac{\sqrt{x}(x+15)-4}{x-3\sqrt{x}-4}-\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+1}+\frac{3(\sqrt{x}+4)}{4-\sqrt{x}}$
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức M
b) Tìm x để $M=\frac{9}{2}$
c) Tính giá trị của M biết $x=\frac{\sqrt{\sqrt{10}+3}+\sqrt{\sqrt{10}-3}}{\sqrt{\sqrt{10}+1}}+sin^{2}10^{0}+sin^{2}80^{0}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$
Bài 2: a) Tìm m để đường thẳng y = x + m cắt đồ thị $y=x^{2}$ (P) taị hai điểm phân biệt $A(x_{1};y_{1});B(x_{2};y_{2})$ sao cho $\left ( x_{2}-x_{1} \right )^{2014}+\left ( y_{2}-y_{1} \right )^{2014}=2$
b) Giải phương trình $\frac{3x+3}{\sqrt{x}}=3+\frac{2\sqrt{x^{2}+7x+1}}{x+1}$
Bài 3: a) Cho đa thức P(x) có các hệ số là các số nguyên và P(17) = 10; P(24) = 17. Biết a, b là hai số nguyên phân biệt thỏa mãn P(a) = a + 3 và P(b) = b + 3. Tính ab
b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{3}+x=y^{3}+3y^{2}+4y+2 & \\ \sqrt{x+6-4\sqrt{x+2}}+\sqrt{y+12-6\sqrt{y+3}}=1& \end{matrix}\right.$
Bài 4: Cho AB là đường kính của đường tròn (O; R). C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B), kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi I là trung điểm AC, OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M, MB cắt CH tại K.
a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O; R).
b) Chứng minh K là trung điểm của CH.
c) Cho BI cắt CO tại D, AD cắt BC tại E. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh $\frac{r^{2}}{AE^{2}+BI^{2}}< \frac{1}{20}$
Bài 5: a) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn x + y + z = 3.
Chứng minh rằng $\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\leq 1$
b) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;1), chứng minh trong ba cạnh của tam giác ABC có ít nhất một cạnh có độ dài lớn hơn hoặc bằng $\sqrt{3}$
