Cho $x,y,z>0$ Chứng minh
$\sqrt{\frac{x}{y+z}}> 2+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2$
$\sqrt{\frac{x}{y+z}}> 2+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2$
Bắt đầu bởi yeutoanmaimai1, 24-04-2015 - 05:14
#2
Đã gửi 24-04-2015 - 06:10
hoanglong2k
-
- Điều hành viên THCS
-
- 965 Bài viết
Trung úy
Cho $x,y,z>0$ Chứng minh
$\sqrt{\frac{x}{y+z}}> 2+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2$
Đề sai rồi bạn ơi 
Phải là $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2$ chứ
Ta có : $\sum \sqrt{\frac{x}{y+z}}=\sum \frac{x}{\sqrt{x(y+z)}}\geq \sum \frac{2x}{x+y+z}=2$
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x=y+z\\ y=z+x\\ z=x+y \end{matrix}\right.\Rightarrow x+y+z=0$ ( trái với giả thiết $x,y,z>0$ )
Vậy $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2$
- yeutoanmaimai1 yêu thích
#3
Đã gửi 24-04-2015 - 11:06
the man
-
- Thành viên
-
- 589 Bài viết
Thiếu úy
Đề sai rồi bạn ơi
Phải là $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2$ chứ
Ta có : $\sum \sqrt{\frac{x}{y+z}}=\sum \frac{x}{\sqrt{x(y+z)}}\geq \sum \frac{2x}{x+y+z}=2$
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x=y+z\\ y=z+x\\ z=x+y \end{matrix}\right.\Rightarrow x+y+z=0$ ( trái với giả thiết $x,y,z>0$ )
Vậy $\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}>2$
Hoặc là thế này
$\sqrt{\frac{y+z}{x}}= \sqrt{\frac{y+z}{x}.1}\leq \frac{1}{2} (\frac{y+z}{x}+1)=\frac{x+y+z}{2x}\Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}}\geq \frac{2x}{x+y+z}$
$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{x}{y+z}}\geq \frac{2x+2y+2z}{x+y+z}=2$
Do dấu = không xảy ra nên ta có đpcm
- yeutoanmaimai1 yêu thích
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
