Chủ đề này có 1 trả lời

[eminemdech]

Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Chứng minh $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq abcd$

[Nguyen Minh Hai]

Cho $a,b,c,d$ là các số thực thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Chứng minh $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq abcd$

Từ giả thiết, ta có: $1-a^2-b^2 =c^2+d^2 \geq 2cd$

Ta sẽ chứng minh: $(1-a)(1-b) \geq cd$

Thật vậy, ta có:

$2(1-a)(1-b)-2cd \geq 2(1-a)(1-b)-1+a^2+b^2 = (1-a-b)^2 \geq 0$

$\Rightarrow (1-a)(1-b) \geq cd$                          (1)

Tương tự: $(1-c)(a-d) \geq ab$                             (2)

Nhân theo vế (1) và (2) ta có $dpcm$. Xảy ra dấu $"="$ khi $a=b=c=d=\frac{1}{2}$