Chủ đề này có 3 trả lời

[crisbale90]

Bài 1: Xét dãy số: $x_1; x_2=\dfrac{1+x_1}{1-x_1}; x_3=\dfrac{1+x_2}{1-x_2}; ... ;x_n=\dfrac{1+x_{n-1}}{1-x_{n-1}} ; x_1 \ne 0 ; x_1\ne \pm 1 $. Chứng minh rằng $ x_{2017}=x_1 $

 

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $ x^3+x^2+x+1=2003^y $

 

Bài 3: Cho $ x,y\in Z, y\ne 1 $ sao cho $ \dfrac{x^3+1}{y+1}+\dfrac{y^3+1}{x+1} $ là một số nguyên. Chứng minh rằng $ x^{2016}-1 \vdots y+1 $

[the man]

 

 

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $ x^3+x^2+x+1=2003^y $

 

 

PT $\Leftrightarrow (x+1)(x^2+1)=2003^y$

Gọi $(x+1;x^2+1)=d$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+1\vdots d & & \\ x^2+1\vdots d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x^2-1\vdots d & & \\ x^2+1\vdots d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2\vdots d$

Do $2003^y$ lẻ nên $d$ lẻ

Mà $2003$ là số nguyên tố nên $x^2+1=1$ hoặc $x+1=1$

Đến đây bạn tự giải tiếp 

[the man]

 

Bài 3: Cho $ x,y\in Z, y\ne 1 $ sao cho $ \dfrac{x^3+1}{y+1}+\dfrac{y^3+1}{x+1} $ là một số nguyên. Chứng minh rằng $ x^{2016}-1 \vdots y+1 $

Đặt $\frac{x^3+1}{y+1}=\frac{a}{b};\frac{y^3+1}{x+1}=\frac{c}{d}(a,b,c,d\in Z)$   $(a,b)=1;(c,d)=1$

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\in Z\Rightarrow ad+bc\vdots bd\Rightarrow ad+bc\vdots d\Rightarrow bc\vdots d$

  Do $(c,d)=1 \Rightarrow b\vdots d$

Tương tự , $d\vdots b$                           

  $\Rightarrow b=d$                  (1)

$\frac{a}{b}.\frac{c}{d}\in Z\Rightarrow ac\vdots bd\Rightarrow ac\vdots d$ 

  Do $(c,d)=1 \Rightarrow a\vdots d$        (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow a\vdots b\Rightarrow x^3+1\vdots y+1$

                             Mà  $x^{2016}-1=(x^6)^{336}-1^{336}\vdots x^6-1$

                                    $x^6-1\vdots x^3+1$

                                    $\Rightarrow x^{2016}-1\vdots y+1$

[Hoang Nhat Tuan]

Bài 1: Xét dãy số: $x_1; x_2=\dfrac{1+x_1}{1-x_1}; x_3=\dfrac{1+x_2}{1-x_2}; ... ;x_n=\dfrac{1+x_{n-1}}{1-x_{n-1}} ; x_1 \ne 0 ; x_1\ne \pm 1 $. Chứng minh rằng $ x_{2017}=x_1 $

 

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $ x^3+x^2+x+1=2003^y $

 

Bài 3: Cho $ x,y\in Z, y\ne 1 $ sao cho $ \dfrac{x^3+1}{y+1}+\dfrac{y^3+1}{x+1} $ là một số nguyên. Chứng minh rằng $ x^{2016}-1 \vdots y+1 $

Bài 1: Thay $x_{2}$ vào  $x_{3}$ ta được $x_{3}=-\frac{1}{x_{1}}$

Tương tự: $x_{4}$=$\frac{x_{1}-1}{x_{1}+1}$

$x_{5}=x_{1}$

Do đó $x_{4k+1}$=$x_{1}$

=> $x_{2007}=x_{1}$