Cho ${x_0};{x_1};...;x_{672}$ thuộc $(0;1)$ là các số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại một cặp $i;j$ sao cho ${x_i}{x_j}({x_i}- {x_j})< \frac{1}{2010}$
WLOG
$0<x_0<x_1<...<x_{672}<1$
đặt $a_i=x_{i+1}x_i(x_{i+1}-x_{i})\ \forall i=\overline{0,671}$ thì ta có
$3a_i=3x_{i+1}x_i(x_{i+1}-x_{i})<(x^2_{i+1}+x_{i+1}x_i+x^2_{i})(x_{i+1}-x_{i})=x^3_{i+1}-x^3_{i}$
$\Rightarrow \sum_{i=0}^{671}3a_i<\sum_{i=0}^{671}(x^2_{i+1}-x^2_i)=x^2_{672}-x^2_0<1$
đặt $a_j=min\left \{ a_0,a_1,...,a_{671}\right \}$
$\Rightarrow 672.3a_j<\sum_{i=0}^{671}3a_i<1\Rightarrow x_{j+1}x_j(x_{j+1}-x_j)=a_j<\frac{1}{2016}<\frac{1}{2010}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 30-04-2015 - 17:16