Chủ đề này có 4 trả lời

[Nhok Tung]

Cho 3 số x,y,z thỏa mãn x,y,z $\epsilon$[-1;3] và x+y+z=3. Chứng minh  $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 11$

[dogsteven]

Giả sử $x\geqslant y\geqslant z$ thì $(y+1)(z+1)\geqslant 0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\leqslant x^2+1+(4-x)^2=2(x-1)(x-3)+11\leqslant 11$

[dogsteven]

Giả sử $x\geqslant y\geqslant z$ thì $x^2+y^2+z^2=x(x-y)+(3-z)(y-z)+3z\leqslant 3(x-y)+4(y-z)+3z=2x+2(3-z)-3\leqslant 6+8-3=11$

[dogsteven]

Đặt $a+1=x, b+1=y$ và $c+1=z$ thì $a+b+c=0$ và $a,b,c\in [-2,2]$. Do đó $a^2\leqslant 2|a|, b^2\leqslant 2|b|$ và $c^2\leqslant 2|c|$

Vậy là $x^2+y^2+z^2=a^2+b^2+c^2+3\leqslant 2(|a|+|b|+|c|)+3$. Vì $a+b+c=0$ nên tồn tại hai số cùng  dấu, giả sử là $a$ và $b$ thì:

$x^2+y^2+z^2\leqslant 2(|a|+|b|+|c|)+3=2|a+b|+2|c|+3=4|c|+3\leqslant 11$

[the man]

Cho 3 số x,y,z thỏa mãn x,y,z $\epsilon$[-1;3] và x+y+z=3. Chứng minh  $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 11$

Làm theo cách này sẽ hay hơn

Từ giả thiết ta có $\left\{\begin{matrix}(x+1)(y+1)(z+1)\geq 0 & & \\ (3-x)(3-y)(3-z)\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow (x+1)(y+1)(z+1)+(3-x)(3-y)(3-z)\geq 0$

Khai triển và rút gọn ta được $4+4(xy+yz+xz)\geq 0\Rightarrow 2(xy+yz+xz)\geq -2$

                                             $\Rightarrow x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)\leq 3^2-(-2)=11$

Dấu = xảy ra khi $(x,y,z)=(-1;3;1)$ và các hoán vị