Chủ đề này có 15 trả lời

[banglangtim_493]

1, Cho G là một nhóm Abel hữu hạn với cấp của G là n và d là một ước của n. Chứng minh rằng trong G luôn có ít nhất một nhóm con cấp d.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doraemon: 18-04-2006 - 11:02

[banglangtim_493]

2, Cho I là idean trong vành giao hoán R và S là một tập nhân đóng trong R . Kí hiệu http://dientuvietnam...metex.cgi?R_{S} . Chứng minh rằng :
(http://dientuvietnam...imetex.cgi?RadI là tập các phần tử x của R sao cho tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x^n thuộc vào I
+)http://dientuvietnam...metex.cgi?R_{S} là tập các phần tử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{a}{s} với a thuộc R và s thuộc S.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doraemon: 18-04-2006 - 11:03

[banglangtim_493]

3, Chứng minh rằng mọi ảnh đồng cấu của một vành địa phương (VÀnh địa phương là một vành giao hoán chỉ có duy nhất một idean cực đại) là vành địa phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doraemon: 18-04-2006 - 11:04

[kakalot]

Mình nghĩ bạn coi cuốn sách của thầy N.H.V.Hưng xem, hình như trong đó có chứng minh (Trong phần Định lý Cauchy và các định lý Sylow đó) !

[kakalot]

Với lưu ý là ảnh ngược của một ideal cũng là một Ideal nên dùng phản chứng là xong ! (đúng ko nhỉ)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kakalot: 17-04-2006 - 10:53

[banglangtim_493]

Mình đang rất cần giải bài toán này, mình đã nghĩ mãi nhưng chưa tìm ra được hướng giải quyết. Mình đã đọc sách của thầy NHVH nhưng ở đó là bài toán với d là số nguyên tố. Mình không không phải ở TP HCM đau mình ở miền Bắc. Bạn giúp mình giải nhé. Xin chân thành cảm ơn. Có hậu tạ.

[kidkg]

Hic, mình nghi ngờ bài này wa' banglangtim ơi. Vì trong sách thầy Quang chỉ có bài y vậy nhưng điều kiện mạnh hơn, G là nhóm cyclic.
Ban đầu mình tưởng nhầm là d nguyên tố, xấu hổ thật. Mình sẽ giải lại, nếu thành công sẽ post lên cho bạn. Bibi.

[banglangtim_493]

Cảm ơn nhé . Rất mong có câu trả lời sớm. Thật sự mình đang rất cần. Minh đặt niềm tin ở bạn.

[kakalot]

Bổ đề 1: Nếu G là nhóm con Xiclic cấp n, d là ước của n khi đó tồn tại duy nhất nhóm con Xiclic của G cấp d. (Chứng minh chỉ cần xét phần tử a^{n/d} , trong đó a là phần tử sinh của G).
Bổ đề 2 : Nếu |G|=p_{1}p_{2}...p_{k}trong đó G abel thì
G Z_p_{1} x Z_p_{2} x...x Z_p_{k}
Bổ đề 3 : Nếu |G|=p^{r_{1}}_{1}p^{r_{2}}_{2}...p^{r_{k}}_{k}trong đó G abel thì G A_p^{r_{1}}_{1} x A_p^{r_{2}}_{2} x...xA_p^{r_{k}}_{k} . Trong đó A_{p^{r_{i}}_{i}} là các p_{i}-nhóm.
Bổ đề 4 : Nếu A_{p} là p-nhóm Abel khi đó A đẳng cấu với tích trực tiếp của các nhóm con Xiclic cấp p.
(lưu ý bạn là các bổ đề trên đều có chứng minh đầy đủ trong sách của Thầy Hưng)
Bạn chỉ cần vận dụng các bổ đề trên là có đpcm thôi .

[banglangtim_493]

Cảm ơn kakalot nhé. Thật xấu hổ quá . Mình cũng đã dùng các bổ đề này để chứng minh mà không hiểu sao vẫn bị mắc, kakalot giúp mình giải trình nhé. Cảm ơn rất nhiều!

[kakalot]

Giả sử G có cấp N, phân tích N ra tích các thừ số nguyên tố
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N=P^{r_1}_{1}P^{r_2}_{1}...P^{r_k}_{k}. Khi đó http://dientuvietnam...{p^{r_{i}}_{i}} là các http://dientuvietnam....cgi?p_{i}-nhóm Abel.
Mặt khác Nếu http://dientuvietnam...metex.cgi?A_{p} là p-nhóm Abel khi đó A đẳng cấu với tích trực tiếp của các nhóm con Xiclic cấp p.
Bây giả sử d là ước của N, ta phân tích http://dientuvietnam...etex.cgi?d=(d_1)^{t_1}...(d_r)^{t_r}, hiển nhiên là các http://dientuvietnam...cgi?{d_i}^{t_i} là ước của một http://dientuvietnam...cgi?{p_i}^{r_i} nào đó,
áp dụng bổ đề một, khi đó tồn tại nhóm con xiclic http://dientuvietnam...mimetex.cgi?H_i cấp http://dientuvietnam...imetex.cgi?(d_i)^{i} của nhóm Xiclic cấp http://dientuvietnam...imetex.cgi?(P_i)^{r_i}.
Cuối cung ta được thì H là nhóm con cấp d của G.
Tui không dánh được Tex trên diễn đàn nên bạn chịu khó nhé !

P/s of Doraemon:Bạn cứ đánh tex bình thường rồi sau đó nháy vào thẻ tex trên hộp soạn thảo. Hoặc là bạn vào edit đi, sẽ thấy tex như thế nào! Have fun

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doraemon: 19-04-2006 - 13:27

[banglangtim_493]

Trình bày của kakalot thật ngắn và dễ hiểu quá , vậy mà mình cứ suy nghĩ mãi mà ko biết trình bày thế nào .Cảm ơn kakalot nhe . Biết hậu tạ như thế nào được nhỉ?

[banglangtim_493]

kakalot ơi minh về làm lại nhưng cảm thấy vẫn có giif đó không ổn. Ban xem lại giúp mình được ko?

[kakalot]

Thật ra các nhóm Hi lại là tích của các nhóm con có cấp nhỏ hơn vì mình đã nói
A_{pi} lại là tích trực tiếp của các nhóm Xiclic mà !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kakalot: 20-04-2006 - 10:46

[banglangtim_493]

Mình cảm tấy không ổn ở chỗ này nè:
áp dụng bổ đề một, khi đó tồn tại nhóm con xiclic H_{i} cấp d_{i}^t_{i} của nhóm Xiclic cấp p_{i}^{r_{i}}.

[kakalot]

Thui làm theo cách sau cho dễ hiểu :
định lý : Nếu G là một p-nhóm cấp p^{k} thì 1 d k, tồn tại trong G nhóm con cấp p^{d}.
Bài này chứng minh :
-quy nạp theo k
-áp dụng định lý Cauchy
-áp dụng giả thiết quy nạp cho nhóm thương
thế là có điều phải chứng minh
Quay lại vấn đề :
Gỉa sử A_{pi} là pi-nhóm Abel có cấp pi^{ri}, có ước di^{ti}(thật ra pi=di -nếu cần thiết phải dánh số lại trong sự phân tích của d ra thừa số nguyên tố) nên áp dụng bổ đề trên ta có điều phải cm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kakalot: 20-04-2006 - 20:43