Cho tam giác ABC nhọn, điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho $\widehat{MBA}=\widehat{MCA}$. Gọi D và E lần lượt là trân đường vuông góc hạ từ M xuống AB và AC, I và H lần lượt là trực tâm của tam giác ADE và ABC, P và Q lần lượt là giao điểm của DM với BH VÀ EM vơi CH. Chứng minh rằng:
a,$\widehat{BMP}=\widehat{CMQ}$
b,Chứng minh ba điểm H,I,M thẳng hàng
a)-Ta có: góc BMP= 90 độ- góc DBM= 90 độ- góc ECM= góc QMC.
b)- Gọi K là trung điểm của DE.
-Vì DMEI là hình bình hành nên MI đi qua trung điểm của DE.
=> M;I;K thẳng hàng (1).
-Gọi HM cắt PQ tại N (2).
-Do HQMP là hình bình hành => HM cắt PQ tại trung điểm của PQ.
=> N là trung điểm của PQ.
-Ta lại có: +) Tam giác MPB đồng dạng với tam giác MQC (g.g) => MP/MQ= MB/MC (3).
+) Tam giác MDB đồng dạng với tam giác MEC (g.g) => MD/ME= MB/MC (4).
-Từ (2);(3) => MP/MQ= MD/ME => PQ// DE => MP/MD= PQ/DE= (PQ/2)/(DE/2)= PN/DK.
=> tam giác MPN đồng dạng với tam giác MDK (c.g.c) => góc PMN= góc DMK => M;N;K thẳng hàng (5).
-Từ (2);(5) => H;M;K thẳng hàng (6).
-Từ (1);(6) =>M;H;I thẳng hàng (đpcm).