Chủ đề này có 5 trả lời

[yeutoanmaimai1]

Bài 1:

Với $0<x<1$,Tìm GTNN của $A=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$

Bài 2

Cho $a,b,c>0$ Chứng minh $\frac{(a+b)^{2}}{c}+\frac{(b+c)^{2}}{a}+\frac{(a+c)^{2}}{b}\geq 4(a+b+c)$

Bài 3

Cho $a,b\geq 0;\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$ Tìm GTLN của $P=ab(a+b)^{2}$

[rainbow99]

Bài 2

Cho $a,b,c>0$ Chứng minh $\frac{(a+b)^{2}}{c}+\frac{(b+c)^{2}}{a}+\frac{(a+c)^{2}}{b}\geq 4(a+b+c)$

Áp dụng bđt B.C.S ta có: $\sum \frac{(a+b)^{2}}{c}\geq \frac{4(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=4(a+b+c)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 30-04-2015 - 14:52

[rainbow99]

Bài 1:

Với $0<x<1$,Tìm GTNN của $A=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$

Nhận xét: $\frac{1}{x}=1+\frac{1-x}{x}$ và $\frac{2}{1-x}=2+\frac{2x}{1-x}$

Do đó, theo bđt AM-GM ta có: $A\geq 2\sqrt{\frac{1-x}{x}\frac{2x}{1-x}}+2+1=3+2\sqrt{2}$

[HoangVienDuy]

Bài 1:

Với $0<x<1$,Tìm GTNN của $A=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$

cách khác ngắn hơn nè: áp dụng cauchy-schwarzt ta có

$A\geq \frac{(\sqrt{2}+1)^{2}}{1-x+x}=3+2\sqrt{2}$

[Dinh Xuan Hung]

 

Bài 2

Cho $a,b,c>0$ Chứng minh $\frac{(a+b)^{2}}{c}+\frac{(b+c)^{2}}{a}+\frac{(a+c)^{2}}{b}\geq 4(a+b+c)$

 

Cách khác

AM-GM

$\left\{\begin{matrix} \frac{(a+b)^2}{c}+4c\geq 4(a+b) & & & \\ \frac{(b+c)^2}{a}+4a\geq 4(b+c) & & & \\ \frac{(c+a)^2}{b}+4b\geq 4(a+c) & & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \sum \frac{(a+b)^2}{c}\geq 4(a+b+c)$

[tonarinototoro]

Bài 3

Cho $a,b\geq 0;\sqrt{a}+\sqrt{b}=1$ Tìm GTLN của $P=ab(a+b)^{2}$

$a+b=\left ( \sqrt{a} +\sqrt{b}\right )^{2}-2\sqrt{ab}=1-2\sqrt{ab}$

đặt $\sqrt{ab}=x$

$\Rightarrow P=x^{2}\left ( 1-2x \right )^{2}=\frac{1}{4}\left [ 2x.\left ( 1-2x \right )\right ]^{2}\leq \frac{1}{4}\left [ \frac{\left ( 2x+1-2x \right )^{2}}{4} \right ]^{2}= \frac{1}{64}$

$"="\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4}$