Kí hiệu $[x]$ (đọc là phần nguyên của $x$) là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Chứng minh rằng: Nếu số nguyên tố $p$ có mặt trong phân tích ra thừa số của $n!=1.2.3...n$ thì số mũ cao nhất của $p$ bằng $\left [ \frac{n}{p} \right ]+\left [ \frac{n}{p^2} \right ]+\left [ \frac{n}{p^3} \right ]+...+\left [ \frac{n}{p^k} \right ]$ với $p^k\leq n< p^{k+1}$
Bổ đề: Trong dãy $n$ số tự nhiên $1;2;3;4;...;n$ thì có đúng $\left [ \frac{n}{q} \right ]$ số tự nhiên chia hết cho số tự nhiên $q$ khác $0$.
$\Rightarrow$ Hệ quả: Trong dãy $n$ số tự nhiên $1;2;3;...;n$ có đúng $\left [ \frac{n}{q^k} \right ]$ số chia hết cho $q^k$
Áp dụng: Số các nhân tử của $n!$ chia hết cho $p^k$ đúng bằng $\left [ \frac{n}{p^k} \right ]$
Điều đó có nghĩa là số các thừa số nguyên tố $p$ có trong cách phân tích ra thừa số nguyên tố của $n!$ đúng bằng:
$\left [ \frac{n}{p} \right ]+\left [ \frac{n}{p^2} \right ]+...+\left [ \frac{n}{p^k} \right ]$
với $p^k \leq n \leq p^{k+1}$
Bạn tự chứng minh bổ đề nhé.Ta có thể xét với 3TH $n<q$;$n=q$ và $n>q$