Tiếp tục:
$\boxed{Đề4}$
Câu 1: a) Tìm các số hữu tỉ $x,y$ thỏa mãn đẳng thức:
$x(\sqrt{2011}+\sqrt{2010})+y(\sqrt{2011}-\sqrt{2010})=\sqrt{2011^{3}}+\sqrt{2010^{3}}$
Theo bài ra ta có:
$\sqrt{2011}(x+y-2011)=\sqrt{2010}(y-x+2010)$
+ Nếu $x+y-2011=0$ thì $y-x+2010-0$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=2010\\ x+y=2011 \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{4021}{2}\\ y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$
+ Nếu $y-x+2010=0$ thì $x+y-2011=0$, ta được kết quả như trên.
+ Nếu $x+y-2011 \neq0$ thì $\sqrt{\frac{2011}{2010}}=\frac{y-x+2010}{x+y-2011}$ vô lý (vì VP là số hữu tỉ, VT là số vô tỉ)
Vậy có một cặp (x,y) duy nhất thỏa mãn đề bài.
$\boxed{Đề4}$
Câu 4: Cho đường tròn $(O;R)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ có $H$ là trực tâm. Trên cung nhỏ $BC$ lấy điểm M. Gọi $N,I,K$ lần
lượt là hình chiếu của $M$ trên $BC,CA,AB$. Chứng minh:
a) Ba điểm $K,N,I$ thẳng hàng.
b) $\frac{AB}{MK}+\frac{AC}{MI}=\frac{BC}{MN}$
c) $NK$ đi qua trung điểm của $HM$.
a) Chứng minh $\widehat{BNK}=\widehat{INC}$
b) Vì $\widehat{MAK}=\widehat{MCN}=\beta$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung $BM$)$\Rightarrow \frac{AK}{MK}=\frac{CN}{MN}=cot\beta \Rightarrow \frac{AB}{MK}-\frac{BK}{MK}=\frac{CN}{MN}$(1)
Tương tự: $\frac{AI}{MI}=\frac{BN}{MN}\Leftrightarrow \frac{AC}{MI}+\frac{CI}{MI}=\frac{BN}{MN}$ (2)
Mà $\frac{IC}{MI}=\frac{BK}{MK}=tan\alpha (\alpha =\widehat{BMK}=\widehat{IMC})$(3)
Từ (1)(2)(3) suy ra đpcm
