Chủ đề này có 40 trả lời

[rainbow99]

$\boxed{Đề 1}$

Bài 4. Cho đoạn thẳng $AB$ cố định và điểm $M$ chạy trên đoạn $AB$. Trong nửa mặt phẳng $(P_{1})$có bờ là $AB$, vẽ tia $M_{x}$ vuông góc với $AB$. Trên tia $M_{x}$ lấy hai điểm $C,D$ sao cho $MC=MA;MD=MB$. Đường tròn $(O_{1})$ qua $A,C,M$ cắt đường tròn $(O_{2})$ qua $B,D,M$ tại $N\neq M$.

      1. Chứng minh rằng $A,D,N$ thẳng hàng và $B,C,N$ thẳng hàng.

      2. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn đi qua 1 điểm cố định khi $M$ chạy trên đoạn $AB$.

1. Ta phải chứng minh được $C$ là trực tâm tam giác ABD và $N$ chính là giao điểm của $AD$ và $BC$

2. Chứng minh MN đi qua điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính $AB$ nằm khác phía bới $Mx$ đối với $AB$.(vẫn đang bí chỗ này )

$\boxed{Đề 1}$

Bài 5. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích bằng $S$ và điểm $O$ nằm trong nó. Hai đường thẳng qua $O$ song song với $AD$ và $AB$ cắt các cạnh $AB,BC,CD,DA$ lần lượt tại $M,N,P,Q$.

      1. Chứng minh rằng trong 2 hình chữ nhật $AMOQ,CNOP$ có ít nhất 1 hình với diện tích không vượt quá $\frac{S}{4}$

      2. Có kết luận được rằng trong hai hình chữ nhật trên có ít nhất một hình với diện tích lớn hơn $\frac{S}{10^{6}}$ được không? Tại sao?

1. Đặt $AM=x$; $MB=y$; $AQ=z$; $QD=t$ thì $S=(x+y(z+t)$.

Khi đó chứng minh rằng: $S_{AMOQ}.S_{CNOP}\leq \frac{S^{2}}{16}$

2. Không kết luận được, chẳng hạn khi: $\frac{AM}{AB}=\frac{DQ}{DA}=\frac{1}{10^{6}}$

[rainbow99]

Làm trc một tí đề 2

Bài 1:

1. Tính $A=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{98.99.100}$

Với mọi số ta có: $n\geq 1$ $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right ]$

ĐS:$A=\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{2}-\frac{1}{9900} \right ]=\frac{4949}{19800}$

2. (Đã làm)

Hình như thiếu cái đk rồi @congdaoduy9a ơi

[rainbow99]

Bài 2

1.(Đã làm).

Đs: $(x,y)=(0;-2),(1;-2),(-1;2),(2;-1)$

2.Giải phương trình: $x^{4}+4x=1\Leftrightarrow (x^{2}+1)^{2}=2(x-1)^{2}$

Đs:$x=\frac{-\sqrt{2}\pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}$

Bài3: Tìm tất cả các số $a,b,c$ sao cho với mọi số nguyên $x$ ta đều có $f(x)=ax^{2}+bx+c$ là số nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 12-05-2015 - 22:18

[rainbow99]

$\boxed{Đề3}$

Câu 1: Giải các phương trình:

a) $\left ( x^{2}+\frac{4}{x^{2}} \right )-4\left ( x-\frac{2}{x} \right )-9=0$

b) $(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+2})(1+\sqrt{x^{2}+7x+10)})=3$

Câu 2: a) Cho 3 số $a,b,c$ khác 0 thỏa mãn: $abc=1$ và $\sum \frac{a}{b^{3}}=\sum \frac{b^{3}}{a}$

Chứng minh rằng trong 3 số $a,b,c$ luôn tồn tại một số là lập phương của một trong hai số còn lại.

b) Cho $x=\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}$. Chứng minh $x$ là số nguyên.

Câu 3: Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn: $x+y+z\leq 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

$A=\sum \sqrt{1+x^{2}}+2(\sum \sqrt{x})$

Câu 4: Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OA=\sqrt{2}$. Từ $A$ vẽ các tiếp tuyến $AB,AC$ với đường tròn ($B,C$ là các tiếp điểm). Lấy $D$ thuộc $AB$; $E$ thuộc $AC$ sao cho chu vi của tam giác $ADE$ bằng $2R$.

a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ là hình vuông.

b) Chứng minh $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$.

c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $ADE$

Câu 5: Trên mặt phẳng cho 99 điểm phân biệt sao cho từ 3 điểm bất kì trong số chúng đều

tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 50 điểm.

 

[hoctrocuaHolmes]

$\boxed{Đề3}$

Câu 1: Giải các phương trình:

a) $\left ( x^{2}+\frac{4}{x^{2}} \right )-4\left ( x-\frac{2}{x} \right )-9=0$

b) $(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+2})(1+\sqrt{x^{2}+7x+10)})=3$

Câu 2: a) Cho 3 số $a,b,c$ khác 0 thỏa mãn: $abc=1$ và $\sum \frac{a}{b^{3}}=\sum \frac{b^{3}}{a}$

Chứng minh rằng trong 3 số $a,b,c$ luôn tồn tại một số là lập phương của một trong hai số còn lại.

b) Cho $x=\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}$. Chứng minh $x$ là số nguyên.

Câu 3: Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn: $x+y+z\leq 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

$A=\sum \sqrt{1+x^{2}}+2(\sum \sqrt{x})$

 

1.Làm câu dễ nhất trước 

a)ĐKXD:x khác 0

$\left ( x^{2}+\frac{4}{x^{2}} \right )-4\left ( x-\frac{2}{x} \right )-9=0\Leftrightarrow [(x-\frac{2}{x})^{2}+4]-4(x-\frac{2}{x})-9=0$

Đặt $x-\frac{2}{x}=t$ ta có

$t^{2}+4-4t-9=0\Leftrightarrow t^{2}-4t-5=0\Leftrightarrow (t-5)(t+1)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t-5=0 & \\ t+1=0& \end{bmatrix}$

Giải ra tìm được các nghiệm của $PT$ 

[Mary Huynh]

$\boxed{Đề3}$

 

b) $(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+2})(1+\sqrt{x^{2}+7x+10)})=3$

 

ĐK : $x\geq -2$

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+5}=a\geq 0 \\ \sqrt{x+2}=b\geq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a^{2}-b^{2}=3 \\ (a-b)(1+ab)=3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \begin{bmatrix}a=b => x+5=x+2(VN) \\ a=1=> x=-4 (ktm) \\ b=1=>x=-1(t,) \end{bmatrix}$

[Khoai Lang]

2)

b) Cho $x=\sqrt[3]{1+\frac{\sqrt{84}}{9}}+\sqrt[3]{1-\frac{\sqrt{84}}{9}}$. Chứng minh $x$ là số nguyên.

 

Ta có $x^3=2+3x\sqrt[3]{\frac{-1}{27}}$

$\Leftrightarrow x^3+x-2=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^2+x+2)=0$

$\Leftrightarrow x=1$ (Do $x^2+x+2=(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4} >0$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoai Lang: 15-05-2015 - 08:28

[rainbow99]

$\boxed{Đề3}$

Câu 2: a) Cho 3 số $a,b,c$ khác 0 thỏa mãn: $abc=1$ và $\sum \frac{a}{b^{3}}=\sum \frac{b^{3}}{a}$

Chứng minh rằng trong 3 số $a,b,c$ luôn tồn tại một số là lập phương của một trong hai số còn lại.

Chữa đề 2:

Câu 2. a)

Đặt: $\left\{\begin{matrix} x=\frac{a}{b^{3}}\\ y=\frac{b}{c^{3}}\\ z=\frac{c}{a^{3}} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}=\frac{b^{3}}{a}\\ \frac{1}{y}=\frac{b^{3}}{c}\\ \frac{1}{z}=\frac{a^{3}}{b} \end{matrix}\right.$

Khi đó: $abc=1$ nên $xyz=1$ (1)

Từ đề bài suy ra: $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \Rightarrow x+y+z=yz+xz+xy$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $xyz+(x+y+z)-(xy+yz+xz)-1=0\Leftrightarrow (x-1)(y-1)(z-1)=0 \Rightarrow Q.E.D$

[rainbow99]

$\boxed{Đề3}$

Câu 3: Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn: $x+y+z\leq 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

$A=\sum \sqrt{1+x^{2}}+2(\sum \sqrt{x})$

Áp dụng các bđt: $a+b\leq \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

                            $a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

Ta có: $\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{2x}\leq \sqrt{2(x^{2}+2x+1)}=\sqrt{2}(x+1)$

           $\sqrt{1+y^{2}}+\sqrt{2y}\leq \sqrt{2(y^{2}+2y+1)}=\sqrt{2}(y+1)$

           $\sqrt{1+z^{2}}+\sqrt{2z}\leq \sqrt{2(z^{2}+2z+1)}=\sqrt{2}(z+1)$

           $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{3(x+y+z)}$

Lại có: $A=\sum \sqrt{1+x^{2}}+\sum \sqrt{2x}+(2-\sqrt{2})(\sum \sqrt{x})$

$\Rightarrow A\leq \sqrt{2}(x+y+z+3)+(2-\sqrt{2})\sqrt{3(x+y+z)}\Rightarrow A\leq 6+3\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

[congdaoduy9a]

Câu 1 ) a) $(x^{2}+\frac{4}{x^{2}})-4(x-\frac{2}{x})-9=0$

$(x-\frac{2}{x})^{2}-4(x-\frac{2}{x})-5=0$

Đến đây đặt ẩn khác hoặc có 1 cách cũng rất hay 

$(x-\frac{2}{x}-2)^{2}=9$

(Các bạn tự giải tiếp nhé)

Câu 5: Lấy điểm A trong 99 điểm.Xét đường tròn (A;1)

Nếu các điểm còn lại nằm trong (A) thì (A) là đt cần tìm

Nếu có điểm B sao cho AB $\geq 1$ ,Khi đó xét (B;1)

Trong 99 điểm xảy ra hai khả năng sau $PB < 1$ P thuộc(A)  (vì AB $\geq 1$)

                                                               $ QB> 1$ Q thuộc (B)

Nên từ 99 điểm này có ít nhất 49 điểm cùng thuộc (A);(B)

Vậy với 49 điểm cùng thuộc đt ta có 50 điểm cần tìm

[rainbow99]

$\boxed{Đề3}$

Câu 4: Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn sao cho $OA=\sqrt{2}$. Từ $A$ vẽ các tiếp tuyến $AB,AC$ với đường tròn ($B,C$ là các tiếp điểm). Lấy $D$ thuộc $AB$; $E$ thuộc $AC$ sao cho chu vi của tam giác $ADE$ bằng $2R$.

a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ là hình vuông.

b) Chứng minh $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$.

c) Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác $ADE$

Câu 4. a) (Chắc dễ không phải làm đâu nhỉ)

b) Theo bài ra ta có: $AD+DE+AE=2R$ (1)

Suy ra $DE=BD+CE$ (2)

Vẽ O$OM$ vuông góc với $DE$ ($M$ thuộc $DE$) (3)

Trên tia đối của tia $CA$ lấy điểm F$F$ sao cho $CF=BD$; suy ra $\Delta BDO=\Delta COF(c.g.c)\Rightarrow OM=OC=R$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $DE$ là tiếp tuyến của $(O;R)$

c) Đặt $AD=x; AE=y$ $\Rightarrow S_{ADE}=\frac{1}{2}xy$ $(x,y>0)$

Ta có: $DE=\sqrt{AD^{2}+AE^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

Vì $AD+DE+AE=2R \Rightarrow x+y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2R \geq 2\sqrt{xy}+\sqrt{2xy}$

$\Rightarrow \sqrt{xy}(2+\sqrt{2})\leq 2R\Leftrightarrow \sqrt{xy}\leq \frac{2R}{(2+\sqrt{2})}\Rightarrow S_{ADE}\leq \frac{R^{2}}{3+2\sqrt{2}}\Leftrightarrow S_{ADE}\leq (3-2\sqrt{2})R^{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$ hay tam giác $ADE$ cân tại $A$

[rainbow99]

Tiếp tục:

$\boxed{Đề4}$

Câu 1: a) Tìm các số hữu tỉ $x,y$ thỏa mãn đẳng thức:

$x(\sqrt{2011}+\sqrt{2010})+y(\sqrt{2011}-\sqrt{2010})=\sqrt{2011^{3}}+\sqrt{2010^{3}}$

  b) Tìm tất cả các số nguyên $x\geq y\geq z\geq 0$ thỏa mãn:

$xyz+xy+yz+xz+x+y+z=2011$

 

Câu 2: a) Giải phương trình: $2(x^{2}+2)=5\sqrt{x^{3}+1}$

  b) Cho $a,b,c\in \left [ 0;2 \right ]$và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$ 

 

Câu 3: Tìm tất cả các số hữu tỉ $x$ sao cho giá trị biểu thức $x^{2}+x+6$ là số chính phương

 

Câu 4: Cho đường tròn $(O;R)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ có $H$ là trực tâm. Trên cung nhỏ $BC$ lấy điểm M. Gọi $N,I,K$ lần

lượt là hình chiếu của $M$ trên $BC,CA,AB$. Chứng minh:

a) Ba điểm $K,N,I$ thẳng hàng.

b) $\frac{AB}{MK}+\frac{AC}{MI}=\frac{BC}{MN}$

c) $NK$ đi qua trung điểm của $HM$.

 

Câu 5: Tìm min và max của biểu thức:$P=2x^{2}-xy-y^{2}$ với $x,y$ thoả mãn điều kiện: $x^{2}+2xy+3y^{2}=4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 17-05-2015 - 08:54

[yeudiendanlamlam]

Chữa đề 2:

Câu 2. a)

Đặt: $\left\{\begin{matrix} x=\frac{a}{b^{3}}\\ y=\frac{b}{c^{3}}\\ z=\frac{c}{a^{3}} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}=\frac{b^{3}}{a}\\ \frac{1}{y}=\frac{b^{3}}{c}\\ \frac{1}{z}=\frac{a^{3}}{b} \end{matrix}\right.$

Khi đó: $abc=1$ nên $xyz=1$ (1)

Từ đề bài suy ra: $x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \Rightarrow x+y+z=yz+xz+xy$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $xyz+(x+y+z)-(xy+yz+xz)-1=0$$\Leftrightarrow (x-1)(y-1)(z-1)=0$$ \Rightarrow Q.E.D$

sao bạn biết cách thêm bớt chỗ này thế!Chỉ mình với

[Hoang Nhat Tuan]

sao bạn biết cách thêm bớt chỗ này thế!Chỉ mình với

Có thể nghĩ ra cách giải bài toán này bằng cách làm ngược từ đề bài. Theo đề bài thì trong 3 số a,b,c tồn tại một số là lập phương của 1 trong hai số còn lại nên ta có thể đưa về phương trình tích: $(b^3-a)(c^3-b)(a^3-c)=0$

Từ đó lần ngược về giả thiết của bài toán

[hoctrocuaHolmes]

Tiếp tục:

$\boxed{Đề4}$

Câu 1: a) Tìm các số hữu tỉ $x,y$ thỏa mãn đẳng thức:

$x(\sqrt{2011}+\sqrt{2010})+y(\sqrt{2011}-\sqrt{2010})=\sqrt{2011^{3}}+\sqrt{2010^{3}}$

  b) Tìm tất cả các số nguyên $x\geq y\geq z\geq 0$ thỏa mãn:

$xyz+xy+yz+xz+x+y+z=2011$

1.b)Ta có $(x+1)(y+1)(z+1)=xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1=2011+1=2012$

Theo gt,$x\geq y\geq z\geq 0$ $\rightarrow x+1\geq y+1\geq z+1\geq 1$ do đó xảy ra các trường hợp

th1: $x+1=2012,y+1=1,z+1=1$
th2: $x+1=1006,y+1=2,z+1=1$
th3: $x+1=503,y+1=4,z+1=1$
th4: $x+1=503,y+1=2,z+1=2$

Giải ra ta có các nghiệm của $PT$

[marcoreus101]

Tiếp tục:

 

Câu 3: Tìm tất cả các số hữu tỉ $x$ sao cho giá trị biểu thức $x^{2}+x+6$ là số chính phương

 

Đặt $x^2+x+6=y^2\Leftrightarrow 4x^2+4x+24=4y^2\Leftrightarrow (2x+1-2y)(2x+1+2y)=-23$

Sau đó xét tích

[Dinh Xuan Hung]

Tiếp tục:

$\boxed{Đề4}$

 

Câu 2: a) Giải phương trình: $2(x^{2}+2)=5\sqrt{x^{3}+1}$

  b) Cho $a,b,c\in \left [ 0;2 \right ]$và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$ 

 

 

a,ĐK $x\geq -1$

$2(x^{2}+2)=5\sqrt{x^{3}+1}\Leftrightarrow 2(x^2-x+1)+2(x+1)=5\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}$ 

$\left ( \sqrt{x+1};\sqrt{x^2-x+1} \right )\rightarrow (a;b)(a\geq 0;b> 0)$

Khi đó:$2a^2+2b^2=5ab\Leftrightarrow 2a^2-4ab+2b^2-ab=0\Leftrightarrow 2a(a-2b)-b(a-2b)=0\Leftrightarrow (2a-b)(a-2b)=0$ 

Đến đây thì dễ rồi nhỉ

b,$(a-2)(b-2)(c-2)-abc\leq 0\Leftrightarrow (ab-2a-2b+4)(c-2)-abc\leq 0\Leftrightarrow abc-2ab-2ac-2bc+4a+4b+4c-abc-8\leq 0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-(a+b+c)^2+4(a+b+c)-8\leq 0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 5$

[Dinh Xuan Hung]

 

 

Câu 5: Tìm min và max của biểu thức:$P=2x^{2}-xy-y^{2}$ với $x,y$ thoả mãn điều kiện: $x^{2}+2xy+3y^{2}=4$

Ta có HPT:$\left\{\begin{matrix} 2x^2-xy-y^2=P & & \\ x^2+2xy+3y^2=4 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8x^2-4xy-4y^2=4P & & \\ Px^2+2Pxy+3Py^2=4P & & \end{matrix}\right. \Rightarrow (8-P)x^2-2y(2+P)x-(4+3P)y^2=0$

y=0$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} P=0;P=8 & & \\ x=0 & & \end{matrix}\right.$

y khác 0 đặt $x=yt$ 

Khi đó ta có $PT$

$(8-P)t^2-2t(2+P)t-(4+3P)=0$

đến đây thì dễ rồi

[rainbow99]

Đặt $x^2+x+6=y^2\Leftrightarrow 4x^2+4x+24=4y^2\Leftrightarrow (2x+1-2y)(2x+1+2y)=-23$

Sau đó xét tích

Bách ơi, $x$ hữu tỉ mà e. Còn $y$ là số nguyên. Như thế không ra được đâu.

[Khoai Lang]

$\boxed{Đề4}$

Câu 3: Tìm tất cả các số hữu tỉ $x$ sao cho giá trị biểu thức $x^{2}+x+6$ là số chính phương

Vì $x$ là số hữu tỉ. Đặt $x=\frac{a}{b} ((a,b)=1)$

Ta có: $x^2+x \epsilon Z$

 $\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{b} \epsilon Z$

$\Leftrightarrow b| a^2+ab$

$\Leftrightarrow b| a(a+b)$

Mà $(a,b)=1$

Nên $b=1$ từ đó ta có $x$ là số nguyên.

Tới đây giải giống cách của bạn marcoreus101