Làm 1 bài tặng 10 likes
1. Cho tam giác ABC, I là tâm nội tam giác, điểm P nằm trong tam giác / (góc)PBA+PCA=PCB+PBC. CMR: $AP \geqslant AI$
Giả sử $AB\leq AC$
Ta có
$\widehat{PBA}+\widehat{PCA}=(180^{\circ}-\widehat{PAB}-\widehat{APB})+(180^{\circ}-\widehat{PAC}-\widehat{APC})=(360^{\circ}-\widehat{APB}-\widehat{APC})-\widehat{BAC}=\widehat{BPC}-\widehat{BAC}$
Mà $\widehat{PBA}+\widehat{PCA}=\widehat{PCB}+\widehat{PBC}$
$\Rightarrow \widehat{BPC}-\widehat{BAC}=\widehat{PBC}+\widehat{PCB}$
$\Rightarrow \widehat{BPC}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{BPC}$
$\Rightarrow \widehat{BPC}=90^{\circ}+\frac{\widehat{BAC}}{2}$
Vẽ đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIC$ cắt $AC$ tại $N$
Dễ thấy $P$ thuộc cung nhỏ $BN$ ( do $P$ nằm trong tam giác)
Gọi $M$ là giao điểm của $AI$ và $BN$.
Ta chứng minh được $\Delta ABN$ cân $\Rightarrow$ $AI$ vuông góc với $BN$
Lấy điểm $P'$ bất kì thuộc cung nhỏ $BN$
Gọi $K$ là chân đường vuông góc kẻ từ $P'$ xuống $BN$
Đặt $a$ là khoảng cách từ $P'$ đến $BN$.
Ta có $AI=AM-IM\leq AK-a\leq AP'$
Từ đó ta suy ra điều cần chứng minh
p/s: Bạn tự vẽ hình nha
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pham Le Yen Nhi: 04-05-2015 - 00:03