Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $AP \geqslant AI$ và ...

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Dung Du Duong

Dung Du Duong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 425 Bài viết

Làm 1 bài tặng 10 likes  :lol:  :lol:  :lol:  :namtay 

 

1. Cho tam giác ABC, I là tâm nội tam giác, điểm P nằm trong tam giác / (góc)PBA+PCA=PCB+PBC. CMR: $AP \geqslant AI$

2. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và D nằm trên BC. CMR: Các đường tròn tiếp xúc với (O), AD và BD; đường tròn tiếp xúc với (O),AC và DC : tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi (góc) BAD=CAD


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 03-05-2015 - 22:06

              

              

                                                                               

 

 

 

 

 

 

 


#2
Pham Le Yen Nhi

Pham Le Yen Nhi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết

 

Làm 1 bài tặng 10 likes  :lol:  :lol:  :lol:  :namtay 

 

1. Cho tam giác ABC, I là tâm nội tam giác, điểm P nằm trong tam giác / (góc)PBA+PCA=PCB+PBC. CMR: $AP \geqslant AI$

Giả sử $AB\leq AC$

Ta có 

$\widehat{PBA}+\widehat{PCA}=(180^{\circ}-\widehat{PAB}-\widehat{APB})+(180^{\circ}-\widehat{PAC}-\widehat{APC})=(360^{\circ}-\widehat{APB}-\widehat{APC})-\widehat{BAC}=\widehat{BPC}-\widehat{BAC}$

Mà $\widehat{PBA}+\widehat{PCA}=\widehat{PCB}+\widehat{PBC}$

$\Rightarrow \widehat{BPC}-\widehat{BAC}=\widehat{PBC}+\widehat{PCB}$

$\Rightarrow \widehat{BPC}-\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{BPC}$

$\Rightarrow \widehat{BPC}=90^{\circ}+\frac{\widehat{BAC}}{2}$

Vẽ đường tròn ngoại tiếp $\Delta BIC$ cắt $AC$ tại $N$

Dễ thấy $P$ thuộc cung nhỏ $BN$ ( do $P$ nằm trong tam giác)

Gọi $M$ là giao điểm của $AI$ và $BN$.

Ta chứng minh được $\Delta ABN$ cân $\Rightarrow$ $AI$ vuông góc với $BN$ 

Lấy điểm $P'$ bất kì thuộc cung nhỏ $BN$

Gọi $K$ là chân đường vuông góc kẻ từ $P'$ xuống $BN$

Đặt $a$ là khoảng cách từ $P'$ đến $BN$.

Ta có $AI=AM-IM\leq AK-a\leq AP'$

Từ đó ta suy ra điều cần chứng minh

p/s: Bạn tự vẽ hình nha :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pham Le Yen Nhi: 04-05-2015 - 00:03





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh