Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Giải phương trình nghiệm tự nhiên: $x^2+y+z=xyz$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 the man

the man

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 589 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Y Hà Nội
  • Sở thích:Nhiều

Đã gửi 04-05-2015 - 19:12

Giải phương trình nghiệm tự nhiên: $x^2+y+z=xyz$


"God made the integers, all else is the work of man."

                                                Leopold Kronecker


#2 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 04-05-2015 - 20:32

Xét $xyz=0$ thì $x=y=z=0$

Xét $x\geqslant 1,y\geqslant z\geqslant 1$ thì $yz+1\geqslant y+z$ nên $x^2+y+z\leqslant x^2+yz+1$

Do vậy mà $x^2-yzx+yz+1\geqslant 0\Rightarrow \Delta = (yz)^2-4(yz+1)\leqslant 0\Rightarrow  yz\leqslant 4$ nên $z=1$ hoặc $z=2$

Xét $z=1$ thì $x^2+y-xy+1=0\Leftrightarrow (x-1)(x-y+1)=-2$. Giải ra được $(x,y)\in \{(2,5); (3,5)\}$

Trường hợp $z=2$ tương tự ta được $(x,y)\in \{(2,2); (1,3)\}$

 

P/s. Chỗ xét dấu $\Delta$ sai rồi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 04-05-2015 - 20:40

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 04-05-2015 - 21:03

 

Giải phương trình nghiệm tự nhiên: $x^2+y+z=xyz$

Loại bỏ các trường hợp mẫu khác $0$, có được: $y=\frac{x^2+z}{xz-1}$

Giả sử $y\geqslant z\Rightarrow x^2+z\geqslant xz-1\Leftrightarrow x^2-z^2.x+2z\geqslant 0\Rightarrow z^4\leqslant 8z\Rightarrow z=0;1;2$
 

Xét $xyz=0$ thì $x=y=z=0$

Xét $x\geqslant 1,y\geqslant z\geqslant 1$ thì $yz+1\geqslant y+z$ nên $x^2+y+z\leqslant x^2+yz+1$

Do vậy mà $x^2-yzx+yz+1\geqslant 0\Rightarrow \Delta = (yz)^2-4(yz+1)\leqslant 0\Rightarrow  yz\leqslant 4$ nên $z=1$ hoặc $z=2$

Xét $z=1$ thì $x^2+y-xy+1=0\Leftrightarrow (x-1)(x-y+1)=-2$. Giải ra được $(x,y)\in \{(2,5); (3,5)\}$

Trường hợp $z=2$ tương tự ta được $(x,y)\in \{(2,2); (1,3)\}$

 

P/s. Chỗ xét dấu $\Delta$ sai rồi.

 

Xem cách mình đc kg nhé :v


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuaZel: 04-05-2015 - 21:04

Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#4 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 04-05-2015 - 21:06

 

 

Loại bỏ các trường hợp mẫu khác $0$, có được: $y=\frac{x^2+z}{xz-1}$

Giả sử $y\geqslant z\Rightarrow x^2+z\geqslant xz-1\Leftrightarrow x^2-z^2.x+2z\geqslant 0\Rightarrow z^4\leqslant 8z\Rightarrow z=0;1;2$
 
 

Xem cách mình đc kg nhé :v

 

$x^2-z^2*x+2z\geqslant 0\Rightarrow z^4\leqslant 8z$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Nhưng với mọi $x\in \mathbb{N}$ thì lại không thể dùng như thế, sai y bài của mình =)) 


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#5 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 04-05-2015 - 21:10

$x^2-z^2*x+2z\geqslant 0\Rightarrow z^4\leqslant 8z$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Nhưng với mọi $x\in \mathbb{N}$ thì lại không thể dùng như thế, sai y bài của mình =)) 

x là thực thì x là nguyên.

Với lại ,bài bạn xét : $4yz+4\geqslant (yz)^2\geqslant 1=>yz\leqslant 4$???


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#6 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 04-05-2015 - 21:12

x là thực thì x là nguyên.

Với lại ,bài bạn xét : $4yz+4\geqslant (yz)^2\geqslant 1=>yz\leqslant 4$???

Không hiểu hả trời. Ví dụ tam thức $x^2+mx+1\geqslant 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ thì $m\leqslant 2$

Nhưng để $x^2+mx+1\geqslant 0$ với $x\geqslant 0$ thì không cần $m\leqslant 2$ mà chỉ cần một trường hợp $m\geqslant 0$ cũng đủ.

Tương tự như bài này.

Còn cái $(yz)^2\leqslant 4yz+4$ giải ra được $yz\leqslant ...<5$ nên $yz\leqslant 4$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 04-05-2015 - 21:14

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#7 Lee LOng

Lee LOng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Once Upon A Time
  • Sở thích:Giải BĐT , xem hoạt hình ,hóa học

Đã gửi 04-05-2015 - 21:52

$*xyz=0\Rightarrow x=y=z=0$

$*xyz\neq 0$

$TH:$ $y=1\Rightarrow x^{2}+1=z(x-1)\Rightarrow ...$

$TH:$ $z=1$ tương tự

$TH:y,z>1$.Đặt $yz=x+m\Rightarrow x^{2}+y+z=x^{2}+xm\Rightarrow y+z=xm\Rightarrow m\geq 1\Rightarrow x^{2}+xm=xyz$

$\Rightarrow x+m=yz$

Lại có:$(x-1)(m-1)\geq 0\Rightarrow xm+1\geq x+m\Rightarrow y+z+1\geq yz$

$\Rightarrow (y-1)(z-1)\leq 2\Rightarrow ....$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lee LOng: 04-05-2015 - 22:15





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh