Chủ đề này có 6 trả lời

[the man]

Giải phương trình nghiệm tự nhiên: $x^2+y+z=xyz$

[dogsteven]

Xét $xyz=0$ thì $x=y=z=0$

Xét $x\geqslant 1,y\geqslant z\geqslant 1$ thì $yz+1\geqslant y+z$ nên $x^2+y+z\leqslant x^2+yz+1$

Do vậy mà $x^2-yzx+yz+1\geqslant 0\Rightarrow \Delta = (yz)^2-4(yz+1)\leqslant 0\Rightarrow  yz\leqslant 4$ nên $z=1$ hoặc $z=2$

Xét $z=1$ thì $x^2+y-xy+1=0\Leftrightarrow (x-1)(x-y+1)=-2$. Giải ra được $(x,y)\in \{(2,5); (3,5)\}$

Trường hợp $z=2$ tương tự ta được $(x,y)\in \{(2,2); (1,3)\}$

 

P/s. Chỗ xét dấu $\Delta$ sai rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 04-05-2015 - 20:40

[hoctrocuaZel]

 

Giải phương trình nghiệm tự nhiên: $x^2+y+z=xyz$

Loại bỏ các trường hợp mẫu khác $0$, có được: $y=\frac{x^2+z}{xz-1}$

Giả sử $y\geqslant z\Rightarrow x^2+z\geqslant xz-1\Leftrightarrow x^2-z^2.x+2z\geqslant 0\Rightarrow z^4\leqslant 8z\Rightarrow z=0;1;2$

 

Xét $xyz=0$ thì $x=y=z=0$

Xét $x\geqslant 1,y\geqslant z\geqslant 1$ thì $yz+1\geqslant y+z$ nên $x^2+y+z\leqslant x^2+yz+1$

Do vậy mà $x^2-yzx+yz+1\geqslant 0\Rightarrow \Delta = (yz)^2-4(yz+1)\leqslant 0\Rightarrow  yz\leqslant 4$ nên $z=1$ hoặc $z=2$

Xét $z=1$ thì $x^2+y-xy+1=0\Leftrightarrow (x-1)(x-y+1)=-2$. Giải ra được $(x,y)\in \{(2,5); (3,5)\}$

Trường hợp $z=2$ tương tự ta được $(x,y)\in \{(2,2); (1,3)\}$

 

P/s. Chỗ xét dấu $\Delta$ sai rồi.

 

Xem cách mình đc kg nhé :v

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuaZel: 04-05-2015 - 21:04

[dogsteven]

 

 

Loại bỏ các trường hợp mẫu khác $0$, có được: $y=\frac{x^2+z}{xz-1}$

Giả sử $y\geqslant z\Rightarrow x^2+z\geqslant xz-1\Leftrightarrow x^2-z^2.x+2z\geqslant 0\Rightarrow z^4\leqslant 8z\Rightarrow z=0;1;2$

 

 

Xem cách mình đc kg nhé :v

 

$x^2-z^2*x+2z\geqslant 0\Rightarrow z^4\leqslant 8z$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Nhưng với mọi $x\in \mathbb{N}$ thì lại không thể dùng như thế, sai y bài của mình =)) 

[hoctrocuaZel]

$x^2-z^2*x+2z\geqslant 0\Rightarrow z^4\leqslant 8z$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Nhưng với mọi $x\in \mathbb{N}$ thì lại không thể dùng như thế, sai y bài của mình =)) 

x là thực thì x là nguyên.

Với lại ,bài bạn xét : $4yz+4\geqslant (yz)^2\geqslant 1=>yz\leqslant 4$???

[dogsteven]

x là thực thì x là nguyên.

Với lại ,bài bạn xét : $4yz+4\geqslant (yz)^2\geqslant 1=>yz\leqslant 4$???

Không hiểu hả trời. Ví dụ tam thức $x^2+mx+1\geqslant 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ thì $m\leqslant 2$

Nhưng để $x^2+mx+1\geqslant 0$ với $x\geqslant 0$ thì không cần $m\leqslant 2$ mà chỉ cần một trường hợp $m\geqslant 0$ cũng đủ.

Tương tự như bài này.

Còn cái $(yz)^2\leqslant 4yz+4$ giải ra được $yz\leqslant ...<5$ nên $yz\leqslant 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 04-05-2015 - 21:14

[Lee LOng]

$*xyz=0\Rightarrow x=y=z=0$

$*xyz\neq 0$

$TH:$ $y=1\Rightarrow x^{2}+1=z(x-1)\Rightarrow ...$

$TH:$ $z=1$ tương tự

$TH:y,z>1$.Đặt $yz=x+m\Rightarrow x^{2}+y+z=x^{2}+xm\Rightarrow y+z=xm\Rightarrow m\geq 1\Rightarrow x^{2}+xm=xyz$

$\Rightarrow x+m=yz$

Lại có:$(x-1)(m-1)\geq 0\Rightarrow xm+1\geq x+m\Rightarrow y+z+1\geq yz$

$\Rightarrow (y-1)(z-1)\leq 2\Rightarrow ....$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lee LOng: 04-05-2015 - 22:15