Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(xf(y))=yf(2x)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 tap lam toan

tap lam toan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 178 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sao Hải Vương
  • Sở thích:$\mathfrak{Inequality},\mathfrak{Piano},\mathfrak{Fairy-Tale}$

Đã gửi 05-05-2015 - 13:14

Tìm hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, biết $f$ tăng nghiêm ngặt và 

$$f(xf(y))=yf(2x)$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 05-05-2015 - 13:15


#2 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 06-05-2015 - 20:16

Tìm hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, biết $f$ tăng nghiêm ngặt và 

$$f(xf(y))=yf(2x)\;\;\;\;(1)$$

Lời giải :

 

Trong $(1)$ cho $x=1$ :

$$f(f(y))=yf(2),\;\forall y\in \mathbb{R}\;\;\;(2)$$

Từ đây dễ dàng suy ra được $f$ là một song ánh.

Từ $(1)$ chọn $y=1$ và sử dụng tính đơn ánh của $f$ thì ta có ngay $f(1)=2$.

Kết hợp $(1)(2)$ :

$$f(2)f(xf(y))=f(f(y))f(2x),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Do $f$ toàn ánh nên :

$$f(2)f(xy)=f(y)f(2x),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;(3)$$

Lấy $y=1$ ở $(3)$ :

$$f(2)f(x)=2f(2x),\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Ta sẽ chứng minh rằng $f(x)=2x,\;\forall x\in \mathbb{R}$. Thật vậy, nếu tồn tại $x_0$ sao cho $f(x)\neq 2x_0$.

Trường hợp $f(x_0)>2x_0$, do $f$ tăng nghiêm ngặt nên :

$$f(f(x_0))> f(2x_0)\Leftrightarrow x_0f(2)> \dfrac{f(2)f(x_0)}{2}\Leftrightarrow 2x_0> f(x_0)$$

Mâu thuẫn với trường hợp đang xét. 

Trường hợp $f(x_0)<2x_0$ cũng dẫn tới mâu thuẫn. Tóm lại đáp số bài toán là :

$$f(x)=2x,\;\forall x\in \mathbb{R}$$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#3 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 16-05-2015 - 22:52

lg  của huy  thiếu trường hợp f(2)=0



#4 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 17-05-2015 - 16:21

lg  của huy  thiếu trường hợp f(2)=0

Cảm ơn bạn. Mình có thể bổ sung như sau.

Nếu $f(2) \neq 0$ thì ta có lời giải trên. Nếu $f(2)=0$ thì từ $(2)$ có :

$$f(f(y))=0=f(2),\;\forall y\in \mathbb{R}$$

Do $f$ đơn ánh nên $f(y)=2,\;\forall y\in \mathbb{R}$. Tuy nhiên hàm này không thoả đề.

Và đáp số duy nhất của bài toán là :

$$f(x)=2x,\;\forall x\in \mathbb{R}$$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh