Chủ đề này có 3 trả lời

[tap lam toan]

Tìm hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, biết $f$ tăng nghiêm ngặt và 

$$f(xf(y))=yf(2x)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 05-05-2015 - 13:15

[Juliel]

Tìm hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, biết $f$ tăng nghiêm ngặt và 

$$f(xf(y))=yf(2x)\;\;\;\;(1)$$

Lời giải :

 

Trong $(1)$ cho $x=1$ :

$$f(f(y))=yf(2),\;\forall y\in \mathbb{R}\;\;\;(2)$$

Từ đây dễ dàng suy ra được $f$ là một song ánh.

Từ $(1)$ chọn $y=1$ và sử dụng tính đơn ánh của $f$ thì ta có ngay $f(1)=2$.

Kết hợp $(1)(2)$ :

$$f(2)f(xf(y))=f(f(y))f(2x),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Do $f$ toàn ánh nên :

$$f(2)f(xy)=f(y)f(2x),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;(3)$$

Lấy $y=1$ ở $(3)$ :

$$f(2)f(x)=2f(2x),\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Ta sẽ chứng minh rằng $f(x)=2x,\;\forall x\in \mathbb{R}$. Thật vậy, nếu tồn tại $x_0$ sao cho $f(x)\neq 2x_0$.

Trường hợp $f(x_0)>2x_0$, do $f$ tăng nghiêm ngặt nên :

$$f(f(x_0))> f(2x_0)\Leftrightarrow x_0f(2)> \dfrac{f(2)f(x_0)}{2}\Leftrightarrow 2x_0> f(x_0)$$

Mâu thuẫn với trường hợp đang xét. 

Trường hợp $f(x_0)<2x_0$ cũng dẫn tới mâu thuẫn. Tóm lại đáp số bài toán là :

$$f(x)=2x,\;\forall x\in \mathbb{R}$$

[cachuoi]

lg  của huy  thiếu trường hợp f(2)=0

[Juliel]

lg  của huy  thiếu trường hợp f(2)=0

Cảm ơn bạn. Mình có thể bổ sung như sau.

Nếu $f(2) \neq 0$ thì ta có lời giải trên. Nếu $f(2)=0$ thì từ $(2)$ có :

$$f(f(y))=0=f(2),\;\forall y\in \mathbb{R}$$

Do $f$ đơn ánh nên $f(y)=2,\;\forall y\in \mathbb{R}$. Tuy nhiên hàm này không thoả đề.

Và đáp số duy nhất của bài toán là :

$$f(x)=2x,\;\forall x\in \mathbb{R}$$