Chủ đề này có 5 trả lời

[5S online]

1) Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm max $P=ab^2+bc^2+ca^2$

 

2) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Cmr:
$\sum \frac{1}{1+x^2(y+z)}\le \frac{1}{xyz}$

[dogsteven]

Bài 1. $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\geqslant 3(ab^2+bc^2+ca^2)$

Do đó $ab^2+bc^2+ca^2\leqslant a+b+c\leqslant 3$

[Viet Hoang 99]

1) Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm max $P=ab^2+bc^2+ca^2$

 

2) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Cmr:
$\sum \frac{1}{1+x^2(y+z)}\le \frac{1}{xyz}$

1)

$P=\sum ab.b\le\sqrt{\sum a^2b^2.sum a^2}=\sqrt{3\sum a^2b^2}\le \sqrt{3.\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}}=3$

[Viet Hoang 99]

1) Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm max $P=ab^2+bc^2+ca^2$

 

2) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Cmr:
$\sum \frac{1}{1+x^2(y+z)}\le \frac{1}{xyz}$

2)

$(y^2z^2+y+z)(1+x^2(y+z))\ge (xy+yz+zx)^2=9$

Ta cần chứng minh: $\sum [x^2y^2+2(x+y+z)]xyz\le 9$

Có: $xyz\le 1$ nên $[\sum x^2y^2]xyz\le \sum x^2y^2$

Nên $\sum x^2y^2+2xyz(x+y+z)=(xy+yz+zx)^2=9$. Ta có đpcm

[tonarinototoro]

2) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Cmr:

$\sum \frac{1}{1+x^2(y+z)}\le \frac{1}{xyz}$

$xy+yz+zx=3\Rightarrow y+z=\frac{3-yz}{x}\Rightarrow \frac{1}{1+x^{2}\left ( y+z \right )}= \frac{1}{1+3x-xyz}$

mặt khác theo AM-GM có $3=\sum xy\geq 3\sqrt[3]{\left ( xyz \right )^{2}}\Rightarrow xyz\leq 1$

$\Rightarrow \frac{1}{1+3x-xyz}\leq \frac{1}{3x}$

thiết lập các bđt tương tự rồi cộng lại ta có $\sum \frac{1}{1+x^{2}\left ( y+z \right )}\leq \sum \frac{1}{3x}$(1)

$\sum xy=3\Rightarrow \sum \frac{1}{3x}= \frac{1}{xyz}$(2)

từ (1) và (2) ta có đpcm

[5S online]

1) Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm max $P=ab^2+bc^2+ca^2$

 

2) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Cmr:
$\sum \frac{1}{1+x^2(y+z)}\le \frac{1}{xyz}$

Nếu bài 1 sửa đề thành tìm max của $P=ab^2+bc^2+ca^2-abc$ thì sao ạ?