Chứng minh rằng phương trình: $x^2+5=y^3$ không có nghiệm nguyên
Chứng minh rằng phương trình: $x^2+5=y^3$ không có nghiệm nguyên
#1
Đã gửi 05-05-2015 - 22:28
#2
Đã gửi 05-05-2015 - 22:39
#4
Đã gửi 05-05-2015 - 23:27
em đọc trên mạng thấy người ta đa số chỉ giải 1 số trường hợp cụ thể. Anh cho em hỏi trường hợp tổng quát có thể giải được không, và nếu có thì giải như thế nào ạ, có phải dùng các kiến thức cao cấp không ạ?
#5
Đã gửi 05-05-2015 - 23:38
thực chất phương trình Mordell vẫn chưa giải được mà chỉ được phát biểu:
phương trình $x^2+k=y^3$ ( k nguyên ) chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên x,y thôi
- Lychee và bigbang123 thích
#6
Đã gửi 05-05-2015 - 23:52
vâng, em cảm ơn anh.
#7
Đã gửi 06-05-2015 - 05:43
Chứng minh rằng phương trình: $x^2+5=y^3$ không có nghiệm nguyên
em đọc trên mạng thấy người ta đa số chỉ giải 1 số trường hợp cụ thể. Anh cho em hỏi trường hợp tổng quát có thể giải được không, và nếu có thì giải như thế nào ạ, có phải dùng các kiến thức cao cấp không ạ?
mình biết một dạng mở rộng nhỏ của phương trình này như sau
CMR phương trình $y^2=x^3+k$ không có nghiệm nguyên nếu $k=(4n-1)^3-4m^2$ với $m,n$ là số nguyên và số nguyên tố $p=4f+3$ không là ước của $m$
- Lychee yêu thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
#8
Đã gửi 18-06-2016 - 07:37
Chứng minh rằng phương trình: $x^2+5=y^3$ không có nghiệm nguyên
Bổ đề:
Nếu $4k+3|x^2+y^2$ thì $4k+3|x$ và $4k+3|x$ (chứng minh bằng phản chứng và định lý Fermat nhỏ)
Vì $x^2 \equiv{0;1} \pmod{4} \Rightarrow y^3=x^2+5 \equiv{1;2} \pmod{4}$. Vậy $y^3$ không chia hết cho 4, vậy $y$ không chia hết cho 2 hay y là số lẻ.
Nếu $y \equiv{3} \pmod{4}$ thì $y^3 \equiv{3} \pmod{4}$ hay $x^2 \equiv{2} \pmod{4}$ $\Rightarrow$ vô lý
Nếu $y \equiv{2} \pmod{4}$ thì $y^3 \equiv{0} \pmod{4}$ $\Rightarrow$ vô lý
$\Rightarrow y=4k+1$
$(x^2+(2)^2=y^3-1=(y-1)(y^2+y+1)$
$ \Rightarrow y^2+y+1=4(4k^2+3k)+3 \equiv{3} \pmod{4}$
$ \Rightarrow 4m+3|x^2+(2)^2 \Rightarrow$ vô lý
- CaptainCuong yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh