Chủ đề này có 6 trả lời

[sinh vien]

Bài toán. Tính tích phân 

                                               I=  $\int \int \int_{B}\frac{x^{4}+2y^{4}}{x^{4}+4y^{4}+z^{4}}dxdydz$

trong đó $B=\left \{ (x,y,z);x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1 \right \}$

Bài toán. Tính tích phân

                   I= $\int \int_{D}\left | xy \right |dxdy$

trong đó$D=\left \{ (x,y);x\geq 0,\left ( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \right )^{2}\leq \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} \right \}$

Bài toán. Tính tích phân

          I= $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{dxdydz}{\left ( 1+x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}$

Bài toán.Tính tích phân

     I= $\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }\frac{dxdy}{\left ( p+ax^{2} +2bxy+cy^{2}\right )^{2}}$

trong đó p >0,a>0 và ac-b$^{2}$>0.

[sinh vien]

Bài toán ( Putnam 1984) . Tính tích phân sau

                                              I=$\int \int \int_{R}xy^{9}z^{8}(1-x-y-z)^{4}dxdydz$

 trong đó $R=\left \{ (x,y,z):x,y,z\geq 0,x+y+z\leq 1 \right \}$

Lời giải.

Với t>0 , đặt $R_{t}=\left \{ (x,y,z):x,y,z\geq 0,x+y+z\leq t \right \}$. Xét tích phân

     $I(t)=\int \int \int_{R_{t}}xy^{9}z^{8}dxdydz$ thì tích phân cần tìm là $I(1)$

Sử dụng phép đổi biến x=tu,y=tv,z=tw. Khi đó $I(t)=I(1)t^{25}$

  Ta sẽ tính tích phân sau bằng hai cách

              $J=\int_{0}^{\infty }\int \int \int_{R_{t}}e^{-t}xy^{9}z^{8}(t-x-y-z)^{4}dxdydz$

Ta thấy $J=\int_{0}^{\infty }I(t)e^{-t}dt=I(1)\int_{0}^{\infty }t^{25}e^{-t}dt=I(1)\Gamma (26)=I(1)25!$

Mặt khác , bằng các đặt $s=t-x-y-z$, ta được

     $J=\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }e^{-s}e^{-x}e^{-y}e^{-z}xy^{9}z^{8}s^{4}dxdydzds=\Gamma (2)\Gamma (10)\Gamma (9)\Gamma (5)=1!9!8!4!$

  Từ đây suy ra $I=I(1)=\frac{1!9!8!4!}{25!}$         

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sinh vien: 14-05-2015 - 20:45

[sinh vien]

Bài toán ( AMM-11709). Tính tích phân

 $\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{x}\frac{cos(x-y)-cosx}{y}dydx$

ĐS: $I=\frac{\pi ^{2}}{6}$

Bài toán (AMM-11650) Tính tích phân

$\int_{0}^{\infty }\int_{x}^{\infty }e^{-(x-y)^{2}}sin(x^{2}+y^{2})\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}dydx$

ĐS: $I=\frac{1}{4}arctan2-\frac{1}{16}ln5-\frac{\pi }{8}$

Bài toán ( AMM-11277) Tính tích phân

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{ln(2-sin\theta cos\phi )}{2-2sin\theta cos\phi +sin^{2}\theta cos^{2}\phi }d\theta d\phi$

ĐS:$I=\frac{\pi ^{2}ln2}{16}$

Bài toán (AMM-11275). Tính tích phân

 $\int_{0}^{\infty }\int_{y}^{\infty }\frac{(x-y)^{2}ln\left ( \frac{x+y}{x-y} \right )}{xysinh(x+y)}dxdy$

ĐS: $\frac{\pi ^{2}(\pi ^{2}-8)}{16}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sinh vien: 02-06-2015 - 11:37

[mathlike8]

Mấy bài này khó quá chắc trong các trường không thi!

[sinh vien]

Mấy bài này mình giới thiệu thêm cho các bạn chứ các bài này có tính thách đố cao chẳng thua các bài toán olympc ở Phổ thông

[vanthanh0601]

Bài toán. Tính tích phân 

                                               I=  $\int \int \int_{B}\frac{x^{4}+2y^{4}}{x^{4}+4y^{4}+z^{4}}dxdydz$

trong đó $B=\left \{ (x,y,z);x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1 \right \}$

Dễ thấy vai trò cua $x$ và $z$ .bình đẳng suy ra I= $\int \int \int_{B}\frac{z^{4}+2y^{4}}{x^{4}+4y^{4}+z^{4}}dxdydz$

suy ra I=$ frac{2.pi} {3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanthanh0601: 20-06-2015 - 16:13

[vanthanh0601]

Bài toán. Tính tích phân

                   I= $\int \int_{D}\left | xy \right |dxdy$

trong đó$D=\left \{ (x,y);x\geq 0,\left ( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \right )^{2}\leq \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} \right \}$

Bài này đặt $x=a cos\phi y=b sin\phi $ thay vào ta có I=1/20

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanthanh0601: 20-06-2015 - 16:15