Chủ đề này có 7 trả lời

[rainbow99]

1. Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. Chứng minh rằng:

a) $\sum x^{2}\geq \sum x$

b) $\sum x^{3}\geq \sum x$

2. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $\sum a^{2}=1$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 08-05-2015 - 21:32

[Nguyen Minh Hai]

 

2. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $\sum a^{2}=1$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a}{b^{2}+c^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta chứng minh: 

$\frac{a}{b^2+c^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

$\Leftrightarrow \frac{a}{1-a^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

$\Leftrightarrow  (a\sqrt{3}-1)^2(a\sqrt{3}+2) \geq 0$ (luôn đúng)

[Nguyen Minh Hai]

1. Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. Chứng minh rằng:

a) $\sum x^{2}\geq \sum x$

b) $\sum x^{3}\geq \sum x$

 

1) Áp bụng $Bunyakowsky$ và $AM-GM$ ta có:

$(x^2+y^2+z^2)(1+1+1) \geq (x+y+z)^2 \geq (x+y+z).3\sqrt[3]{xyz}=3(x+y+z)$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2 \geq x+y+z$

2) Áp dụng $Holder$ và $AM-GM$ ta có:

$(x^3+y^3+z^3)(1+1+1)(1+1+1) \geq (x+y+z)^2 \geq (x+y+z).3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{xyz} =9(x+y+z)$

$\Rightarrow x^3+y^3+z^3 \geq x+y+z$

[Nguyen Minh Hai]

1. Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. Chứng minh rằng:

 

b) $\sum x^{3}\geq \sum x$

 

Cách khác:

$Bunyakowsky$:

$(x^3+y^3+z^3)(x+y+z) \geq (x^2+y^2+z^2)^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}.3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=(x+y+z)^2$

$\Rightarrow x^3+y^3+z^3 \geq x+y+z$

[rainbow99]

1) Áp bụng $Bunyakowsky$ và $AM-GM$ ta có:

$(x^2+y^2+z^2)(1+1+1) \geq (x+y+z)^2 \geq (x+y+z).3\sqrt[3]{xyz}=3(x+y+z)$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2 \geq x+y+z$

2) Áp dụng $Holder$ và $AM-GM$ ta có:

$(x^3+y^3+z^3)(1+1+1)(1+1+1) \geq (x+y+z)^2 \geq (x+y+z).3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{xyz} =9(x+y+z)$

$\Rightarrow x^3+y^3+z^3 \geq x+y+z$

Câu 2 còn cách nào khác không bạn. Vì mình nghĩ là đi thi chắc không được dùng bđt Holder

[rainbow99]

3. Cho $a,b,c>0$. CMR:

$\sum \frac{2\sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}\leq \sum \frac{1}{x^{2}}$

4. $x,y>0$. CMR: $(1+x)\left ( 1+\frac{y}{x} \right )\left ( 1+\frac{9}{\sqrt{y}} \right )^{2}\geq 256$

5. Cho $x,y\neq 0$ thỏa mãn: $(x+y)xy=x^{2}+y^{2}-xy$

Tìm max $A=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}$

[hoanglong2k]

 

4. $x,y>0$. CMR: $(1+x)\left ( 1+\frac{y}{x} \right )\left ( 1+\frac{9}{\sqrt{y}} \right )^{2}\geq 256$

5. Cho $x,y\neq 0$ thỏa mãn: $(x+y)xy=x^{2}+y^{2}-xy$

Tìm max $A=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}$

4. Có 

     $(1+x)\left ( 1+\frac{y}{x} \right )\left ( 1+\frac{9}{\sqrt{y}} \right )^2\geq (1+\sqrt{y})^2\left ( 1+\frac{9}{\sqrt{y}} \right )^2\geq (1+3)^4=256$

5. Giả thiết $\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}-\frac{1}{xy}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right )^2-\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )^2=\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )^2$

                 $\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq 4$

$A=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2\leq 16$

Dấu bằng khi $a=b=\frac{1}{2}$

[Cetus]

3. Cho $a,b,c>0$. CMR:

$\sum \frac{2\sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}\leq \sum \frac{1}{x^{2}}$

 

 

Bạn có thể ghi rõ cho mình điều kiện của bài được không, nhìn khó hiểu quá