Chủ đề này có 1 trả lời

[dhdhn]

Cho x, y $\geq$ 0 thỏa mãn x+y+xy=3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 

$S=\frac{x^{2}}{y+1}+\frac{y^{2}}{x+1}-\frac{1}{x+y+3}$

[25 minutes]

Cho x, y $\geq$ 0 thỏa mãn x+y+xy=3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 

$S=\frac{x^{2}}{y+1}+\frac{y^{2}}{x+1}-\frac{1}{x+y+3}$

Đặt $t=x+y\Rightarrow 2\leqslant t\leqslant 3$

Tìm GTNN: 

Áp dụng Cauchu-Schwarzt ta có 

 $P\geqslant \frac{(x+y)^2}{x+y+2}-\frac{1}{x+y+3}=\frac{t^2}{t+2}-\frac{1}{t+3}\geqslant \frac{4}{5}$

$\Leftrightarrow (t-2)\left [ \frac{t+1}{t+2}-\frac{1}{5(t+3)} \right ]\geqslant 0$

BĐT trên luôn đúng do $t \geqslant 2$

Tìm GTLN

Ta có $P=\frac{x^3+y^3+x^2+y^2}{4}-\frac{1}{x+y+3}\leqslant \frac{(x+y)^3+(x+y)^2}{4}-\frac{1}{x+y+3}=\frac{t^3+t^2}{4}-\frac{1}{t+3}\leqslant \frac{53}{6}$

$\Leftrightarrow (t-3)\left [ \frac{t^2+4t+12}{4}-\frac{1}{6(t+3)} \right ]\leqslant 0$

Vậy ta có đpcm