Chủ đề này có 1 trả lời

[raquaza]

cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+a}+\frac{4c^2}{2+\sqrt{a^2+b^2}}$

[25 minutes]

cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+a}+\frac{4c^2}{2+\sqrt{a^2+b^2}}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có   

         $\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+a}\geqslant \frac{(a^2+b^2)^2}{a^2+b^2+ab^2+a^2b}\geqslant \frac{(a^2+b^2)^2}{a^2+b^2+\sqrt{(a^2+b^2).2a^2b^2}}\geqslant \frac{(a^2+b^2)^2}{a^2+b^2+\sqrt{\frac{(a^2+b^2)^3}{2}}}=\frac{a^2+b^2}{1+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}$

Từ $c=1-(a+b)\geqslant 1-\sqrt{2(a^2+b^2)}\Rightarrow 4c^2\geqslant 8(a^2+b^2)-8\sqrt{2(a^2+b^2)}+4$

Đặt $t=a^2+b^2>0$

 $\Rightarrow P\geqslant f(t)=\frac{t}{2+\sqrt{\frac{t}{2}}}+\frac{8t-8\sqrt{2t}+4}{2+t}$